Matematické Fórum

Matytus · 28. 11. 2013 19:00

Dobrý den, prosím Vás,mohl by někdo jen říci, jakým způsobem se postupuje při řešení toho příkladu?Větu umím aplikovat,jsou-li stejné argumenty, ovšem zde mne trochu zmátlo, že jsou u sinu a cosinu jiné argumenty: $(\cos \frac{2}{3}\Pi +i\sin \frac{1}{3}\Pi )^{5}$ .Budu rád za každou radu, děkuji.

Lopatak · 28. 11. 2013 19:17

to je příklad obsaný z učebnice? protože já si myslím, že argument může být jen jeden

Matytus · 28. 11. 2013 19:23

↑ Lopatak:
No, mě to příjde právě divné.Také znám jen příppad pro společný argument.Ne ne, byl nám zadán jako jeden z příkladů na domací přípravu.

Jj · 28. 11. 2013 19:32

↑ Matytus:

Dobrý večer, řekl bych, že

$\cos \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{1}{3}\pi = -(\cos \frac{1}{3}\pi -i\sin \frac{1}{3}\pi)$

Matytus · 28. 11. 2013 19:46

↑ Jj:
Dobrá večer, děkuji moc ;-) čili poté bude ,,výsledek" $(-1)^{5}(\cos \frac{5}{3}\pi -i\sin \frac{5}{3}\pi )$ ?

Lopatak · 28. 11. 2013 19:53

po změně znamínka v závorce to už ale není v goniometrickém tvaru, ne?

Matytus · 28. 11. 2013 19:54

↑ Lopatak:
Já to vzal po provedení Moivreovy věty...pk se to již dopočítalo,ni?

Lopatak · 28. 11. 2013 19:59

nevím.. moje otázka spíš směrovala k Jj

Matytus

↑ Lopatak:
výsledek mi vyšel $\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ .Takhle jste to myslel?

Jj · 28. 11. 2013 20:33 — Editoval Jj (28. 11. 2013 20:36)

↑ Matytus:

Myslel jsem to takto:

$\cos \frac{2}{3}\pi= -\cos \frac{1}{3}\pi\rightarrwo$

$\cos \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{1}{3}\pi = -\cos \frac{1}{3}\pi + i\sin \frac{1}{3}\pi =-(\cos \frac{1}{3}\pi - i\sin \frac{1}{3}\pi)$

a číslo je v goniometrickém tvaru, čili

$(\cos \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{1}{3}\pi)^5 = [-(\cos \frac{1}{3}\pi - i\sin \frac{1}{3}\pi) ]^5=(-1)^5(\cos \frac{1}{3}\pi - i\sin \frac{1}{3}\pi)^5$
a lze užít Moivreova věta, jak jste uvedl tady: ↑ Matytus:.

Jinak:
$\cos \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{1}{3}\pi$ není podle mne goniometrický tvar čísla,
ale číslo tvaru
$\cos \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{1}{3}\pi = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt3}{2}=-(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt3}{2})$
což při převodu na goniometrická tvar dá právě $-\cos \frac{1}{3}\pi + i\sin \frac{1}{3}\pi$ .