Matematické Fórum

nanny1 · 28. 11. 2013 19:39 — Editoval nanny1 (28. 11. 2013 20:23)

Zdravím, mám dokázat, že pro $1\le p<q<\infty$ platí $L^{q}(\Omega ) \subset L^{p}(\Omega )$ . Mám k tomu použít Holderovu nerovnost a použít za jeden člen funkci identicky rovnou 1. Mohla bych poprosit o radu? Nechci řešení, je to domácí úkol, ráda bych to vyřešila sama, ale ani nevím, jak začít.. :( Vím, co jsou prostory $L^{p}$ a znám předpis Holderovy nerovnosti pro tyto prostory, ale co s tím..?
Co využít nějak duální prostory?

Bati · 28. 11. 2013 23:27

Ahoj, třeba ti pomůže, když ti řeknu, že to takhle neplatí. Zvolme například $\Omega:=(1,\infty)$ . Pak zřejmě $\left\|\frac1{x^{1/p}}\right\|_{p}=\infty$ , ale $\left\|\frac1{x^{1/p}}\right\|_{q}=\left(\int_1^{\infty}\frac1{x^{q/p}}\right)^{1/q}<\infty$ .

V čem je ten problém?

nanny1 · 29. 11. 2013 13:11 — Editoval nanny1 (29. 11. 2013 13:40)

Ahoj, děkuju za reakci. Omlouvám se, teď koukám, že jsem to napsala obráceně, v zadání je $1\le q<p<\infty$ . Pořád tomu moc nerozumím.. Uvažovala jsem takhle: Pro Holderovu nerovnost platí vztah $\int_{\Omega }^{}|f.g|dx \le (\int_{\Omega }^{}|f(x)|^{p}dx)^{1/p}.(\int_{\Omega }^{}|g(x)|^{q}dx)^{1/q}$ a zároveň f.g patří do L1. Podle nápovědy si situaci zjednoduším, když položím jednu funkci rovnou jedné, napadá mě třeba f(x)=1 na intervalu <0,1>, protože $(\int_{0}^{1}1^{p})^{1/p}=1$ . Musím tedy najít takovou funkci g(x), která patří do L1, což je "největší" prostor, použiju např. g(x)=x a norma z g(x) je tedy $(\int_{0}^{1}|x|^{q}dx)^{1/q}=\sqrt[q]{1/1+q}$ a na levé straně mám ten samý výsledek, ale bez odmocniny, takže nerovnost platí (jestli jsem to někde nespletla..). Ale jak teď z toho dostanu důkaz vnoření? :(

Bati · 29. 11. 2013 13:16 — Editoval Bati (29. 11. 2013 13:17)

↑ nanny1:
Pokud q<p, tak to taky neplatí. Protipříklad je naprosto analogický tomu minulému, za omega budu volit $(0,1)$ .

Znovu se tedy ptám: V čem je ten problém?

nanny1 · 29. 11. 2013 13:30 — Editoval nanny1 (29. 11. 2013 13:32)

↑ Bati: Ještě jsem editovala.. Neplatí? Tak to jsem z toho jelen. :( Tak jsem asi špatně určila g(x). Ten problém se zatím marně pokouším najít.

nanny1 · 29. 11. 2013 13:37

Jak tak na to koukám, když položím jeden člen roven jedničce, vůbec se mi tam neprojeví index p natož nějaká nerovnost mezi p a q.. Dělám něco špatně.

Bati · 29. 11. 2013 13:47

Zapomeň na chvíli na tu Holderovu nerovnost (ve skutečnosti ji nepotřebuješ vůbec). Měla by sis všimnout, že nějakým způsobem záleží na vlastnostech množiny omega, viz. ty příklady. Jak?

nanny1 · 29. 11. 2013 15:14 — Editoval nanny1 (29. 11. 2013 15:42)

Hm hm.. Záleží to na množině omega. Dělá tam neplechu nekonečno. Že by to souviselo s omezeností normy? Musíme vybrat množinu tak, aby $\parallel .\parallel \le K$ ? Ale záleží i na funkci, kterou integrujeme. Dá se to vůbec říct nějak obecně?

Bati · 29. 11. 2013 15:39

↑ nanny1:
To je ono. Závisí to na tom, jestli omega má konečnou míru. To jak přesně, je napsáno třeba zde http://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space#Embeddings . K důkazu potom můžeš použít toho Holdera (uvědom si, kdy je jednotková funkce integrovatelná), ale lze to i elementárněji, když z intergálů odřízneš množinu, kde integrovaná funkce je větší než jedna, a pak odhadneš, zhruba řečeno.

nanny1 · 29. 11. 2013 16:08

Super, děkuju za odkaz. :)

nanny1 · 30. 11. 2013 17:13

Přiznám se, že si nejsem jistá, co je jednotková funkce.. Myslíš f(x)=1? Pak na měřitelných množinách je integrál $\int_{\Omega }^{}d\Omega$ mírou množiny omega (jestli si to myslím dobře.. Míru a Lebesgueův integrál budu mít až za dva roky). Ta Holderova nerovnost, kterou jsem psala předtím - je prosím ten postup aspoň nějak dobře? Jenom to musím napsat obecně pro libovolnou měřitelnou množinu, nemůžu asi použít konkrétní interval <0,1>, i když by se zrovna hodil...

Bati · 30. 11. 2013 17:19

↑ nanny1:
Jo, myslel jsem f(x)=1 všude, proto jsem napsal radši jednotková funkce než f(x)=1.
Jak jste si definovali Lp prostory bez Lebesgueova integrálu?

nanny1 · 30. 11. 2013 17:27

No on se tenhle předmět zapisuje až ve vyšším ročníku, zapsala jsem si to už teď a jsem z toho taky pěkně vykulená. :D Míra a integrál je pak předmět na celej semetr. Něco jsem si přečetla, snad základy znám.

nanny1 · 30. 11. 2013 17:46

Ona ta funkční hodnota vlastně v Lebesgueovo integrálu může mít konečný počet výjimek. Co omezit množinu..?

Bati · 30. 11. 2013 18:03

↑ nanny1:
Tipuju, že to je z funkcionální analýzy?

Ona ta funkční hodnota vlastně v Lebesgueovo integrálu může mít konečný počet výjimek.

Dokonce spočetný počet. Prvky prostoru Lp jsou ve skutečnosti třídy ekvivalence, která říká, že 2 funkce jsou si ekvivalentní, pokud se rovnají skoro všude (tedy až na množiny Lebesgueovy míry 0, což jsou všechny spočetné množiny, ale i některé nespočetné, viz. Cantorova).

Co se týče toho důkazu, nechce se mi to sem celé psát. Zkus začít tak, že si řekneš, že ta funkce patří do menšího prostoru a pokusíš se ukázat, že je taky v tom větším, a pak to sem napiš, kam jsi došla.

nanny1 · 05. 12. 2013 09:26 — Editoval nanny1 (05. 12. 2013 09:48)

↑ Bati: Ahoj, snad už to mám..
$L^{q}(\Omega )\subset L^{p}(\Omega )$ , když platí $\parallel u\parallel _{p}\le (meas(\Omega ))^{1/p-1/q}\parallel u\parallel _{q}$
Dosadím do Holderovy nerovnosti a položím q=p´=p/(p-1):

$(\int_{\Omega }^{}|u(x)v(x)|dx)^{p}=(\int_{\Omega }|u(x)|^{p}dx)/(\int_{\Omega }^{}|v(x)|^{q}dx)^{1-p}$
Úpravami potom dostanu tvar
$(\int_{\Omega }^{}|u(x)|^{p}dx)^{1/p}\le (\int_{\Omega }^{}|u(x)|^{q}dx)^{1/q}(\int_{\Omega }^{}1 dx)^{1/p-1/q}$ , což znamená, že prostory jsou vnořené.

Bati · 05. 12. 2013 10:03

↑ nanny1:
Ahoj,
jak jsi přišla na tohle?
$(\int_{\Omega }^{}|u(x)v(x)|dx)^{p}=(\int_{\Omega }|u(x)|^{p}dx)/(\int_{\Omega }^{}|v(x)|^{q}dx)^{1-p}$
To se mi zdá dost divný.

nanny1 · 05. 12. 2013 10:07

↑ Bati: To jsem našla jako definici.. Tak jsem to dosadila. Bez toho jsem se nehnula nikam, protože na levé straně jsem pořád měla jednotkovou normu, což mi k ničemu nebylo.

nanny1 · 05. 12. 2013 10:08 — Editoval nanny1 (05. 12. 2013 10:08)

Doufám, že to mám dobře, dalo mi to fakt zabrat. Mám to rozepsaný na dvou A4..

Bati · 05. 12. 2013 10:15

↑ nanny1:
Jo, už jsem to pochopil, je to jen Holderova nerovnost umocněná na p. Na to ti stačí jeden řádek. A má tam být nerovnost, ne rovnost. Ještě budu přemýšlet, jak jsi z toho dovodila závěr.

Bati · 05. 12. 2013 10:23 — Editoval Bati (05. 12. 2013 10:24)

↑ nanny1:
No, dosazením té jednotkové funkce do té Holderovy nerovnosti dostaneš
$\int_{\Omega}|u|\leq\lambda(\Omega)^{q}$\int_{\Omega}|u|^p$^{1/p}$ ,
takže pokud je omega omezená, pak
$\|u\|_1\leq K\|u\|_p$ .
To je snadné, pořád nevím, kde jsou ty 2 strany A4. A co dál?

nanny1 · 05. 12. 2013 10:31

Já si myslím, že to musí jít i jinak a míň komplikovaně. Navíc si u pár věcí nejsem jistá, jestli jsou úplně košer. Každopádně jsem na levé stravě potřebovala místo jednotkové normy absolutní hodnotu na p-tou, našla jsem tu rovnost (která je mi teda taky divná..), dosadila jsem za integrál součinu $(\int_{\Omega }^{}|u(x)|^{p}dx)/(\int_{\Omega }^{}1 dx)^{1-p}$ (celou nerovnost jsem předtím umocnila na p-tou), vynásobila tou mírou na (1-p), tím jsem na pravé straně dostala míru na (2-p) a dosazením q=p/(p-1) mi vyšel ten konečný tvar.

nanny1 · 05. 12. 2013 10:33

↑ Bati: Teď to čtu.. Tohle jsem zkoušela úplně na začátku, ale nebyla jsem si jistá, jestli to právě dokazuje vnoření.. Protože definici vnoření jsem našla jako viz výše.

Bati · 05. 12. 2013 10:40

↑ nanny1:
No nerovnost $\|u\|_1\leq K\|u\|_p$ očividně dokazuje to, že $L^p\subset L^1$ pro všechna $p>1$ . Teď jde o to, jestli to jde nějak převést na $L^q$ , $q<p$ .

nanny1 · 05. 12. 2013 12:53

Já už fakt nevim.. V tom postupu jsem našla chybu, takže to musím předělat. Je aspoň ta myšlenka správně?

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2013 19:39 — Editoval nanny1 (28. 11. 2013 20:23)

Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#2 28. 11. 2013 23:27

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#3 29. 11. 2013 13:11 — Editoval nanny1 (29. 11. 2013 13:40)

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#4 29. 11. 2013 13:16 — Editoval Bati (29. 11. 2013 13:17)

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#5 29. 11. 2013 13:30 — Editoval nanny1 (29. 11. 2013 13:32)

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#6 29. 11. 2013 13:37

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#7 29. 11. 2013 13:47

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#8 29. 11. 2013 15:14 — Editoval nanny1 (29. 11. 2013 15:42)

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#9 29. 11. 2013 15:39

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#10 29. 11. 2013 16:08

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#11 30. 11. 2013 17:13

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#12 30. 11. 2013 17:19

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#13 30. 11. 2013 17:27

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#14 30. 11. 2013 17:46

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#15 30. 11. 2013 18:03

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#16 05. 12. 2013 09:26 — Editoval nanny1 (05. 12. 2013 09:48)

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#17 05. 12. 2013 10:03

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#18 05. 12. 2013 10:07

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#19 05. 12. 2013 10:08 — Editoval nanny1 (05. 12. 2013 10:08)

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#20 05. 12. 2013 10:15

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#21 05. 12. 2013 10:23 — Editoval Bati (05. 12. 2013 10:24)

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#22 05. 12. 2013 10:31

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#23 05. 12. 2013 10:33

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#24 05. 12. 2013 10:40

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

#25 05. 12. 2013 12:53

Re: Vnoření L prostorů a Holderova nerovnost

Zápatí