#1 30. 11. 2013 12:59
Descartes-ova lemma
Nech P je polynom z realnymi koeficientamy, a nech ma presne k z nych nenulovych.
Dokazte, ze P ma naviac k-1 striktne kladnych ( >0 ) korenov.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#3 30. 11. 2013 14:39
Re: Descartes-ova lemma
Ahoj ↑ Brano:
Hint: indukcia+ Rolle
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#4 30. 11. 2013 16:53
Re: Descartes-ova lemma
↑ vanok:
tak to uz je teraz lahke (dokaz mozem spisat neskor len chcem dat priestor aj inym)
ale teraz by bola vyzva dokazat silnejsiu verziu analytickymi metodami:
Nech 
(s realnymi koeficientami) ma 
striktne kladnych korenov pricom zapocitavame aj nasobnost (t.j. jeden dvojnasobny sa zapocitava za dva) potom ma aspon 
nenulovych koeficientov
Offline
#5 01. 12. 2013 10:27
Re: Descartes-ova lemma
riesenie (aj s nasobnostami - nakoniec sa ukazalo, ze je to len miniaturna modifikacia)
je polynom, ktory nie je identicky 
pocet kladnych korenov 
pocet nenulovych koeficientov 
.
.
potom 
a 
.
a chceme to dokazat pre 
.
kde 
a potom plati 
a 
. Kedze 
tak pre 
sme hotovi kvoli indukcnemu predpokladu.
t.j. 
. Nech 
su dva rozne kladne susedne korene 
teda z Rolleho vety vieme, ze existuje nejake 
take, ze 
. Dalej ak 
je 
a teda 
cize je to aj 
nasobny koren 
. Takze ak to dame dohromady, tak mame, ze 
.
. Kedze 
tak z indukcneho predpokladu mame, ze 
cize Offline
#6 01. 12. 2013 11:25 — Editoval vanok (01. 12. 2013 11:34)
Re: Descartes-ova lemma
Ahoj ↑ Brano:,
Ano to je prakticky, ten isty dokaz ako moj.
Poznamenavam, ze analogicka veta plati aj pre korene <0. ( ten isty dokaz)
Cize mame aj, ze taketo polynomy maju naviac 2k-1 korenov, z ktorych je najviac k-1 striktne kladnych a tiez najviac k-1 striktne negativnych a jeden pripadne nulovy.
Jedna zaujimava aplikacia, je dokazat ze za urcitych podmienok lakunarny Vandermondov determinant je >0 .
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#7 01. 12. 2013 21:25
Re: Descartes-ova lemma
↑ vanok:
Pozeral som sa na wiki na Vandermondovu maticu, ale nejak nechapem ako to suvisi s touto ulohou, lebo tam pisali, ze ju konstruujeme iba z bodov ktore akoze chceme dosadzat do nejakeho polynomu a samotna matica nijak nezavisi od koeficientov.
Offline
#8 01. 12. 2013 22:00 — Editoval vanok (01. 12. 2013 22:04)
Re: Descartes-ova lemma
Ahoj ↑ Brano:,
V rychlosti:
je jej determinant striktne >o.
, potom det je polynom ktory ma naviac k nenulovych monomov 
su korene polynomu P je ich k-1 ... vdaka lemme co sme ukazali su to vsetki >0 korene. 
je tak nenulovy a ma znamienko dominaneho koef. Rekurancna hyp zarucuje ze je >0.Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#9 01. 12. 2013 23:53 — Editoval Brano (02. 12. 2013 00:05)
Re: Descartes-ova lemma
slovo lakunárny sa nachadza v slovenskom slovniku cudzich slov, ale netusim co znamena.
A nemalo by to byt, ze ten determinant je 
lebo nemoze existovat polynom 
ktory by mal aspon roznych kladnych korenov?
EDIT: aha - nic som nepovedal - tu by vyhovoval polynom co je konstantne nulovy, teda moze byt determinant aj nenulovy - este sa pozriem na ten dokaz.
Offline