Matematické Fórum

quik · 01. 12. 2013 21:26 — Editoval quik (02. 12. 2013 17:12)

zdravim, vůbec si nevím rady s tímto příkladem, byl bych rád kdyby někdo pomohl, díky

pro jaká $m,k\in \mathbb{N}$ se limita rovná 0?

$\lim_{n\to\infty }n(\sqrt[m]{n^{m}+mn^{m-1}+1}-\sqrt[k]{n^{k}+kn^{k-1}-1})$

vím že m,k nesmí být rovny 1, jelikož neexistuje 1. odmocnina, dále chápu že závorka musí být rovna 0, tím pádem ty dvě odmocniny se musí navzájem rovnat, dál už ale netuším

quik · 02. 12. 2013 17:13

věděl by někdo jak to udělat pls?

jelena · 03. 12. 2013 00:02

Zdravím,

celé bych nevěděla (ani jsem nezačala uvažovat), ale zkusila bych na úvod vytknout
$n(\sqrt[m]{n^{m}+mn^{m-1}+1}-\sqrt[k]{n^{k}+kn^{k-1}-1})=n(\sqrt[m]{n^{m}(1+\frac{m}{n}+\frac{1}{n^m})}-\sqrt[k]{n^{k}(1+\frac{k}{n}-\frac{1}{n^k}})$

"vytáhnout" n z odmocnin a před závorku. Ještě lze uvažovat nad rozšířením dle vzorce, ale to by chtělo uvážit společný násobek m, k pro úpravy. Alespoň tak v náznaku.

vanok · 03. 12. 2013 10:19

↑ jelena: pozdravujem,
Poznamka:
Tu bude najucinnejsie pouzit limitovane rozvoje (alebo metodu mozno metodu ekvivalentov)
To da riesenie po dvoch riadkoch vypoctu.
Ine metody su pre amaterov dlhych vypoctov.

Bati · 03. 12. 2013 11:57 — Editoval Bati (03. 12. 2013 11:57)

↑ vanok:
Ahoj.
Limitovanými rozvoji máš na mysli Taylorovy řady? Zkoušel jsem si to jimi spočítat: definoval jsem si funkci
$f(x)=\frac1{x^2}$\(1+mx+x^m$^{1/m}-$1+kx-x^k$^{1/k}\)$ , což dává naší posloupnost pro $x_n=\tfrac1n$ , takže stačí spočítat $\lim_{x\to0+}f(x)$ . V bodě nula můžeme pro dostatečně malé $y$ rozvinout mocniny pomocí vztahu
$(1+y)^r=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{r}{n}y^n=1+ry+\tfrac{r(r-1)}{2}y^2+o(y^2),\quad y\to0$ .
Tím se ukáže, že pro $k=1$ nebo $m=1$ limita diverguje a pro $m,k\geq2$ po úpravách dostaneme
$f(x)=\tfrac1mx^{m-2}+\tfrac1kx^{k-2}-\tfrac m2+\tfrac k2+o(1),\quad x\to0$ ,
z čehož už lze snadno učinit závěry.

Myslel jsi to takto? Jako výpočet na 2 řádky mi to totiž úplně nepřipadá.

vanok · 03. 12. 2013 12:12 — Editoval vanok (03. 12. 2013 13:38)

Ano to je to co som myslel ako metodu prace.
Staci zapisat
Vdaka limitovanemu rozvoju (dostatocneho radu...) mame
$f(x)=DOPLNIT$ co staci na analyzu hladanej limity
( co su dva riadky)

Pochopitelne, je to pouzitelne za predpokladu, ze Taylorova veta o radoch je uz znama..

vanok · 03. 12. 2013 13:37 — Editoval vanok (03. 12. 2013 14:55)

Odpoved:
ak som sa nezmylil,
rozvoj do radu dve staci
podla znameho vzorca co pripomenul kolega ↑ Bati: mame (pre m>2, k>2):

$f(x)=\frac 1 {x^2} $ \frac {mx} {m} -\frac {(m-1)m^2.x^2}{2m^2}-\frac {kx} {k} +\frac {(k-1)k^2.x^2}{2k^2}+o(x^2) $= -(\frac {m-1}2- \frac {k-1}2) +o(1)$

co staci na riesenie daneho problemu za danych predpokladov( pouzil som aritmetiku limitovanych rozvojov, cize ignoraciu clenov vysiej mocniny ako 2).

poznamka:
Clen z $x^2$ v rozvojoch odmocnin vyssie dostaneme z $(mx+x^m)^2$ a z $(kx-x^k)^2$

Ostava riesit situaciu v pripadoch, ak m alebo k su = 2.
Metoda je na tom istom principe, ale napr pre m=2, clen z $m$ je zvedceniy o 1/2 ako v pripadoch riesenych vyssie.
édit: toto riesenie bolo zdokonalene vdaka diskuzii z kolegom Bati, ktoremu dakujem.