Matematické Fórum

Definice. Lineární (neboli vektorové) prostory V, W nad týmž tělesem T jsou isomorfní tehdy a jen tehdy, když existuje lineární zobrazení  f : V ---> W  ,
které je prosté a zároveň zobrazuje V na celé W. Takové zobrazení f se pak nazývá isomorfismem prostorů V, W.

(Zobrazení  f je lineární tehdy a jen tehdy, jsou-li splněny rovnice   f (x + y)  =  f (x)  +  f (y) ,  f (t . x)  =  t . f (x)   pro libovolné vektory x, y  prostoru V a libovolný
prvek t  telesa T.)

Věta 1. Lineární zobrazení    f : V ---> W   dvou vektorových prostorů V, W nad týmž tělesem T je prosté, právě když Ker (f) = {0}.

(Množina  Ker (f) = { x element V ; f(x) = 0 } se nazývá jádro lineárního zobrazení f .)


Věta 2.  Lineární zobrazení  f : V ---> W je isomorfismem prostorů V, W  tehdy a jen tehdy, když ke každěmu vektoru w z prostoru W existuje v prostoru V
právě jedno řešení rovnice f(x) = w.


Věta 3. Lineární prostory V, W nad týmž tělesem T jsou isomorfní tehdy a jen tehdy, mají-li touž dimensi.

(Dimense prostoru je mohutnost - tedy počet prvků - jeho báze. Ze Steinizovy věty plyne, že dvě báze téhož prostoru mají stejnou mohutnost. Dimense prostoru může být
konečná  nebo i nekonečná, ale v tom případě je nutno specifikovat  ji příslušným nekonečným kardinálním číslem, kterých je nekonečně mnoho - o tom podrobná teorie množin).

(Snadné důkazy uvedených vět 1 - 3 přenechávám laskavému čtenáři.)