Matematické Fórum

zuzik1 · 06. 12. 2013 16:11

Ahoj mám jeden příklad, ve kterém mám zadaný tento součet:
$2+\frac{2^2}{2^{10}}+\frac{2^3}{3^{10}}+\frac{2^4}{4^{10}}+\ldots$

a mám rozhodnout o konvergenci řady.

Ze součtu jsem zjistila, že řada bude bude vypadat takto:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^{10}}$

Počítala jsem to pomocí limitního podílového kritéria a došla jsme až do tohoto bodu:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)^{10}}}{\frac{2^n}{n^{10}}}=\lim_{n \to \infty}\frac{2^{n+1}}{(n+1)^{10}}\cdot \frac{n^{10}}{2^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{2n^{10}}{(n+1)^{10}}=2\lim_{n \to \infty}\frac{n^{10}}{(n+1)^{10}}$

Tady jsem tak nějak skončila a nevím jak mám dále postupovat. Wolfram používá strašně moc derivací, a já nevím proč. I když derivace umím používat, tento semestr jsme to ještě neprobírali, budeme to probírat příští semestr, a nevím, zda by mi takový postup byl uznán.

Napadlo mě ve jmenovateli vytknout $n^{10}$ , že bych tam dostala tohle $n^{10}(1+\frac{1}{n^{10}})$ a potom to zkrátit ale nevím zda je to dobře :-)

Díky za každou pomoc.

Rumburak · 06. 12. 2013 16:45

↑ zuzik1:

Ahoj.

Napadlo mě ve jmenovateli vytknout $n^{10}$ , že bych tam dostala tohle $n^{10}(1+\frac{1}{n^{10}})$ a potom to zkrátit ale nevím zda je to dobře :-)

Ano, to je správný postup.

vanok · 06. 12. 2013 16:49

Ahoj
Mas
$..=2\lim_{n \to \infty}\frac{n^{10}}{(n+1)^{10}}=\lim_{n\to \infty} \frac 2 {(1+\frac 1n)^{10}}$
Tato limita sa jednoducho vypocita.

Inac si mohla pouzit aj odmocninove kriterium.

zuzik1 · 06. 12. 2013 17:04

Děkuji už to dopočítám :-). Odmocninové kritérium jsem zkoušela, ale nějak jsem se tam taky zasekla :-)

Rumburak · 06. 12. 2013 17:32

↑ zuzik1:

U této úlohy by i stačilo ukázat, že poslouponost, z níž je řada sestavena, nemá limitu rovnou 0.

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2013 16:11

Konvergence řady

#2 06. 12. 2013 16:45

Re: Konvergence řady

#3 06. 12. 2013 16:49

Re: Konvergence řady

#4 06. 12. 2013 17:04

Re: Konvergence řady

#5 06. 12. 2013 17:32

Re: Konvergence řady

Zápatí