Matematické Fórum

Spown3 · 07. 12. 2013 22:18 — Editoval Spown3 (07. 12. 2013 22:48)

Zdravim, pomohli by ste mi prosim s prikladmi:

1.priklad
$\int_{}^{}\frac{x+1}{(x^2+9x+2)^3}dx$

substitucia

$t = x+1$
$x = t-1$
$dx = dt$

$\int_{}^{}\frac{t}{((t-1)^2+9(t-1)+2)^3}dt = \int_{}^{}\frac{t}{((t-1)^2+9t-7)^3}dt$

neviem ako to dalej upravit.

2.priklad
$\int_{}^{} \frac{dx}{-4 sin(-2x)+5}$

substitucia

$t = 2x$ a $dx = 1/2dt$

z toho mam

$\frac{1}{2} \int_{}^{}\frac{dt}{4 sin(t)+5}$

dalsia substitucia tu neviem ci som ju spravil dobre

$u = tg(\frac{t}{2})$
$cos(t)=\frac{1-u^2}{u^2+1}$
$sin(t)=\frac{2u}{u^2+1}$
$dt = \frac{2du}{u^2+1}$

z toho dostanem tvar

$\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2du}{(u^2+1)*(\frac{8u}{u^2+1})+5} = \int_{}^{}\frac{du}{5u^2+8u+5} =\int_{}^{}\frac{du}{5(u+\frac{4}{5})^2+\frac{9}{5}} = \frac{1}{5}\int_{}^{}\frac{du}{(u+\frac{4}{5})^2+\frac{9}{5}}$

Je v poriadku riesenie a mozem uz pouzit len vzorec $\int_{}^{}\frac{dx}{x^2+a^2}$ ?

hribayz · 09. 12. 2013 21:37

Ahoj,

substitucí si v prvním případě nepomůžeš. Generický postup je rozklad na parciální zlomky, nic dalšího mě teď nenapadá...

Ve druhém příkladě, abys dostal co chceš, musíš substituovat celý argument sinu, tedy i s mínuskem, a pak to dopadne trošku jinak, a ve jmenovateli potom po dosazení nechápu těch 5u^2. Myslím, že to bude mnohem jednodušší a ty kvadráty se vykrátí.

aivos · 09. 12. 2013 21:48

Ten první musí být 100% na parciální zlomky, pak už by měla být integrace lehká... Celý ten zlomek rozlož na parciální zlomky a uvidíš

Spown3 · 09. 12. 2013 22:28

Zdravim,

ok tak skusim ten prvy priklad cey parcialne zlomky.

V tom druhom priklade tych $5u^2+8u+5$ vznikne po uprave predosleho menovatela.

hribayz myslis ze mam subsituovat $-4 sin(-2x) = t$ ?

jelena · 10. 12. 2013 12:16

↑ Spown3:

Zdravím, nedávej, prosím do tématu více dotazů, je to nepřehledné viz pravidla. Pro první úlohu také může být užitečná Ostrogradského metoda.

Ohledně substituce pro 2. integrál - myslí se nejdřív odstranit minus v sin(-2x)=-sin(2x), potom celý jmenovatel je tak $\int_{}^{} \frac{dx}{4 sin(2x)+5}$ . Drobnou substituci 2x=t jsi provedl ↑ příspěvek 1:, potom je univerzální substituce, která vyžaduje spíš pozornost při úpravě, než nějakou speciální znalost nebo nápad. Zkus nejdřív překontrolovat v MAW (krokově), pokud bude neshoda, tak se ještě ozvi, nejlépe v samostatném tématu. Děkuji.

Spown3 · 17. 12. 2013 11:00

Zdravim, tak druhy priklad som vypocital cez tangensovu substituciu.

Mohli by ste mi pomoct do akeho tvaru upravit prvy integral tak aby sa dal rozpisat na parcialne zlomky? Cez MAW to predtym nez rozlozi na parcialne zlomky malo byt v tvare $\frac{1}{(2x+\sqrt[]{73} +9)^3(2x-\sqrt{73}+9)^3}$ ale nerovna sa s prvym integralom ked to rozzpisem.

jelena · 17. 12. 2013 14:54

↑ Spown3:

Zdravím,

opravdu je lepší mít pro každá dotaz samostatné téma. V "rozkladu" máš podle mne pouze přípravu pro rozklad (vychází z úpravy $x^2+9x+2$ na součin) pouze rozklad jmenovatele Integrál $\int_{}^{}\frac{x+1}{(x^2+9x+2)^3}dx$ bych začala úpravou: $\frac{1}{2}\cdot\frac{(2x+9)-7}{(x^2+9x+2)^3}$ a podělila člen po členu, potom

část $\frac{(2x+9)}{(x^2+9x+2)^3}$ v čitateli je derivace jmenovatele,
část $\frac{1}{(x^2+9x+2)^3}$ buď parciální zlomky nebo metoda Ostrogradského, ale koeficienty vychází nevzhledně, jsi se jist se zadáním? Děkuji.

Spown3 · 17. 12. 2013 17:56 — Editoval Spown3 (17. 12. 2013 22:58)

Zdravim, zadanim som si isty, a metoda Ostrogradského sme sa neucili.

tak som si rozlozil

$\int_{}^{}\frac{x+1}{(x^2+9x+2)^ 3} = \int_{}^{}(\frac{2x+9}{2*(x^2+9x+2)}-\frac{7}{2*(x^2+9x+2)})dx$

po vytknuty pred integral dostanem 2 integraly
$1. integral \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x+9}{(x^2+9x+2)^3}$

$2. integral - \frac{7}{2}\int_{}^{}\frac{1}{(x^2+9x+2)^3}$

1 integral bude $\frac{1}{2}*(-\frac{1}{2(x^2+9x+2)^2})$

2 integral som upravil $- \frac{7}{2}\int_{}^{}\frac{1}{(x^2+9x+2)^3} = -\frac{7}{2}\int_{}^{}\frac{1}{((x+\frac{9}{2})^2-\frac{73}{4})^3}$

substitucia

$x+\frac{9}{2} = t$
$dx = dt$

$-\frac{7}{2}\int_{}^{}\frac{1}{(t^2-\frac{73}{4})^3}$ mam upravit cez parcialne zlomky? Ty tam mas ten druhy integral bez $-\frac{7}{2}$

jelena · 17. 12. 2013 19:19

↑ Spown3:

konstanty (po vytknutí) jsem nezahrnovala do zápisu, pro podstatu řešení není důležité, ale třeba překontrolovat, zda jsme nic neztratili. Proto ještě překontroluj 1. integrál, je v něm drobný překlep, integruješ $\frac{1}{2}\int u^{-3}\d u$

2. integral po všech úpravách je $-\frac{7}{2}\int_{}^{}\frac{1}{(t^2-$\frac{\sqrt{73}}{2}$^2)^3}$ z toho je vidět rozklad dle vzorce $a^2-b^2$ . A ano, použit parciální zlomky, pokud nebyl Ostrogradsky.

Raději, prosím, kontroluj, úpravy si nepíší, jen představuji.

Spown3 · 17. 12. 2013 21:58 — Editoval Spown3 (18. 12. 2013 15:21)

Ten prvy integral som opravil.

Vysledok prikladu mi vysiel

$\frac{1}{2}*(\frac{-1}{2(x^2+9x+2)^2} + c) -\frac{7}{2}*($ vysledok z parcialnych zlomkou cez MAW $+c)$

jelena · 17. 12. 2013 22:00

↑ Spown3:

tak předpokládám, že i celý výsledek jsi zkontroloval v MAW. Všechno v pořádku a souhlasí? Děkuji.

Spown3 · 17. 12. 2013 23:09

vysledky tych dvoch integralov som si overil cez MAW ale celkovy integral som uz nerozpisoval nechal som ho v tavere predosleho prispevku, ale malo by to byt dobre co som iba tak matne porovnal s celkovym vysledkom.

Ešte raz ďakujem za pomoc

jelena · 18. 12. 2013 15:03 — Editoval jelena (18. 12. 2013 15:16)

↑ Spown3:

také děkuji, jen si pořád myslím, že u 1. integrálu (i včetně 1/2 před integrálem) $\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x+9}{(x^2+9x+2)^3}$ má být ve výsledku 1/4) - kontrola WA. Použitá drobná substituce $x^2+9x+2=u$ dává $(2x+9)\d x=\d u$ (edit: oprava závorek).

Ale nástroje na kontrolu máš, tak bych v tom velký problém neviděla, princip je jasný.

Spown3 · 18. 12. 2013 15:23

Ano malo tam byt $\frac{1}{2}*(\frac{-1}{2*(x^2+9x+2)^2}+c)$ v tom prispevku co som napisal vysledok som zabudol 2 v citateli uz som ju opravil

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2013 22:18 — Editoval Spown3 (07. 12. 2013 22:48)

integraly

#2 09. 12. 2013 21:37

Re: integraly

#3 09. 12. 2013 21:48

Re: integraly

#4 09. 12. 2013 22:28

Re: integraly

#5 10. 12. 2013 12:16

Re: integraly

#6 17. 12. 2013 11:00

Re: integraly

#7 17. 12. 2013 14:54

Re: integraly

#8 17. 12. 2013 17:56 — Editoval Spown3 (17. 12. 2013 22:58)

Re: integraly

#9 17. 12. 2013 19:19

Re: integraly

#10 17. 12. 2013 21:58 — Editoval Spown3 (18. 12. 2013 15:21)

Re: integraly

#11 17. 12. 2013 22:00

Re: integraly

#12 17. 12. 2013 23:09

Re: integraly

#13 18. 12. 2013 15:03 — Editoval jelena (18. 12. 2013 15:16)

Re: integraly

#14 18. 12. 2013 15:23

Re: integraly

Zápatí