Matematické Fórum

kolejo · 11. 12. 2013 20:19

Dobrý večer,
začali jsme nedávno univerzální algebru a rád bych do toho co nejdříve pronikl. Mám tu zadání úkolu a popíšu svůj postup. Prosím o nějaké vedení/dovedení do cíle, či radu, díky moc.
OT: nevím, do "zajímavých úloh z algebry" jsem to nechtěl dávat, snad fórum se svým osazenstvem bude souhlasit

________________________________
Je dán typ
$\Omega =\{a\}$
kde a je unárni operační smybol. Na množině přirozených čísel je dána struktura $\Omega$ - algebry unární operací
$a_\mathbb{N}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ ,
která je pro libovolné $n\in \mathbb{N}$ definovaná takto:
Pro n různé od jedničky: $a_\mathbb{N}(n)=n-1$
Pro n=1 : $a_\mathbb{N}(n)=1$

Nalezněte všechny homomorfismy $\Omega \text{-algeber } \varphi :\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ .
Pro každý nalezený homomorfismus phi popište rozklad odpovídající jádru $ker\varphi$

Dodatek: vysvětlit, proč se skutečně jedná o homomorfismy omega-algeber, zdůvodnit, proč jsou to všechny
________________________________

Když si to představím:
...5 -> 4 -> 3 -> 2 -> 1 -> 1 (chci říct, že jednička jde do sebe)
Tedy tak chápu tu svou omega-algebru...strukturu.

Homomorfismy do sebe...tedy endomorfismy budu hledat jak?
No aby to byl homomorfismus, jednička musí jít na jedničku. Nejsem si ale zcela jist, zda chápu pravý důvod.
Myslím si: a(2)=1, a(1)=1, pro phi homomorfismus musí platit
phi(a(1))=a(phi(1))...z toho phi(1)=1 pro každý homomorfismus.
Kdyby totiž phi(1) bylo třeba dva, tak
phi(a(1))=phi(1)=2
a(phi(1))=a(2)=1

Zdůvodnil jsem to dobře? Můžete to, prosím velice nějak vylepšit? Díky.

Máme zadarmo dva homomorfismy: identita a "všechno na jedničku".
Je tam nějaký další? Můžeme vzít n čísel, to poslat na jedničku a zbytek jako v identitě? To by bylo ale docela dost homomorfismů...nekonečně mnoho.
S tím jádrem, do toho se pouštět ještě nehodlám, protože to není podmnožina, ale relace...

Děkuji moc,
kolejo

Hanis · 12. 12. 2013 21:07 — Editoval Hanis (13. 12. 2013 12:36)

Ahoj, trochu jsem přemýšlel a vymyslel jsem toto:

$\varphi_k(n)= \begin{pmatrix} 1\text{ pro }n \le k; k>1 \\ n-k+1 \text{ pro } n>k \end{pmatrix}$

(omlouvám se za lidovou tvořivost, nedaří se mi natexovat svorky, tak je to v matici...).

Ověřme, že je to homomorfismu O-A.

Nechť $1<n\le k$ ,pak
$1=a(1)=a\varphi_k(n)=\varphi_k(a(n))=\varphi_k(n-1)=1$ (Chci ukázat tu prostřední rovnost, pro n=1 se to ukáže skoro stejně, akorát před poslední rovná se nebude n-1, ale 1.)

Nechť $n>k+1$

$n-k-1=a(n-k)=a\varphi_k(n)=\varphi_k(a(n))=\varphi_k(n-1)=n-1-k$ (Zbývá případ n=k+1, ale ten je jednoduchý, na obou stranách rovnice bude namísto n-k-1 pouze 1. Opět ukazuju prostřední rovnost.

Tedy máme nekonečně mnoho homomorfismů O-A. Musíme ještě ukázat, že jsou všechny :-)

EDITována chybná definice phi_k

kolejo · 12. 12. 2013 21:13

↑ Hanis:
Ahoj,
díky. Máš to pěkné. :) Snad jsou všechny, vždyť jiný přístup se tam snad vymyslet nedá. No, ještě je mi to O-A asi vzdálené.
Jádro...zas dvě zadarmo? Všechna n přirozená, že každé n tvoří třídu je jádro? No a to druhý zadarmo je že všechno v jedné třídě.
Doufám.

Jak se přijde na jádra těch netriviálních homomorfismů?

Hanis · 12. 12. 2013 21:17

Tak já bych viděl to takhle:

$ker(\varphi_k)=\{\{1,2,...,k\},\{k+1\},\{k+2\},...\}$ Protože pak budu mít O-A s reprezentanty, ty z první třídy posílám všechny na 1, z druhé na 2 atd.

No ale to, že máme všechny, je třeba podchytit...

kolejo · 12. 12. 2013 21:22

↑ Hanis:
...vždyť zadání neříká o jádrech že "všechny". Když už ukážeme, že máme všechny phi, homomorfismy, tak k tomu jen jádra a hotovo.

Tak stačí ne?

//Hodlám zítra odpoledne/večír označit za vyřešené. budu na to myslet

Hanis · 12. 12. 2013 21:23

Já myslel všechny homomorfismy, jádra už jsou daná jednoznačně. Snažím se to nějak dotáhnout do sporu...

kolejo · 12. 12. 2013 21:26

↑ Hanis:
Aha.
Myslím si, že když to je takovej řetězec (jen ta jednička na konci jde na sebe), tak se tam jiný homomorfismus vymyslet nedá.
Tak tahej do sporu, ať se daří

Hanis · 12. 12. 2013 21:33

Přesunu do zajímavých :-)

kolejo · 12. 12. 2013 23:50

↑ Hanis:
Napadlo mě:
tam jak jsi to definoval
$\varphi_k(n)= \begin{pmatrix} 1\text{ pro }n \le k; k>1 \\ n-k \text{ pro } n>k \end{pmatrix}$

Tak phi(k+1)=1, není to problém? Takhle se to indukčně protáhne na celé N. Nějak na to nemůžu přijít. Nenacházím ani řešení ani fatální problém.

Hanis · 13. 12. 2013 00:26

máš pravdu, mám tam posunutý index, mělo by být n-k+1 pro n>k

kolejo · 13. 12. 2013 11:50

↑ Hanis:

Uzavírám se správnou odpovědí:
dva homomorfismy zadarmo,
dalších nekonečně mnoho: stačí nějakou část poslat na 1 (čísla od 1 do k) a jasně říct, co pošleme na dvojku a tím už je homomorfismus jednoznačně určen.

Takže to máš správně!

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2013 20:19

Homomorfismy mezi omega-algebrami

#2 12. 12. 2013 21:07 — Editoval Hanis (13. 12. 2013 12:36)

Re: Homomorfismy mezi omega-algebrami

#3 12. 12. 2013 21:13

Re: Homomorfismy mezi omega-algebrami

#4 12. 12. 2013 21:17

Re: Homomorfismy mezi omega-algebrami

#5 12. 12. 2013 21:22

Re: Homomorfismy mezi omega-algebrami

#6 12. 12. 2013 21:23

Re: Homomorfismy mezi omega-algebrami

#7 12. 12. 2013 21:26

Re: Homomorfismy mezi omega-algebrami

#8 12. 12. 2013 21:33

Re: Homomorfismy mezi omega-algebrami

#9 12. 12. 2013 23:50

Re: Homomorfismy mezi omega-algebrami

#10 13. 12. 2013 00:26

Re: Homomorfismy mezi omega-algebrami

#11 13. 12. 2013 11:50

Re: Homomorfismy mezi omega-algebrami

Zápatí