Matematické Fórum

Raubbbyy · 12. 12. 2013 18:40

gulicka o hmotnosti m na zavesu dlzky l je spustena z uhlu 90stupnov a narazi do dalsej gulicky o hmotnosti 2m tieto dve gulicky sa zlepia do akeho uhlu sa vychylili ? neviem vobec ako na to prist

KennyMcCormick · 12. 12. 2013 20:10

Pádem seshora získá první kulička rychlost, kterou spočítáš zákonem zachování energie:
$m_1gh=\frac12m_1v_1^2\Rightarrow v_1=\sqrt{\frac{gh}{\frac12}}$

Kulička narazí na druhou kuličku, která byla až doteď v klidu. Podle zákona zachování hybnosti:
$v_1m_1=v(m_1+m_2)\Rightarrow v=\frac{v_1m_1}{m_1+m_2}$
$v=\frac{\sqrt{\frac{gl}{\frac12}}m}{m+2m}=\frac13\sqrt{2gl}$ , a tohle je rychlost, kterou se po srážce pohybují obě kuličky.

Podle zákona zachování energie obě kuličky vystoupají do výšky $h_2$ , kterou spočítáš ze vzorce
$(m_1+m_2)gh_2=\frac12(m_1+m_2)v^2\Rightarrow h_2=\frac{\frac12v^2}g$
$h_2=\frac{\frac12(\frac13\sqrt{2gl})^2}g=\frac{\frac19gl}g=\frac19l$ .

Úhel určíš z rovnice
$\cos\alpha=\frac{l-\frac19l}l=\frac89$
$\alpha\doteq27^\circ15'57,76''$ .

Je to všechno jasný?

zdenek1 · 12. 12. 2013 20:28

↑ Raubbbyy:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-12/75975_pic.png
Na počátku má malá kulička potenciální energii
$E_p=mgl$
v nejniižsí poloze se tato energie přemění na kinetickou energii
$E_k=\frac12mv^2$
Podle ZZE se energie rovnají
$mgl=\frac12mv^2\ \Rightarrow\ v=\sqrt{2gl}$
Malá kulička narazí do velké rychlostí $v$
Podle ZZH platí
$mv=3mu$ , kde $u$ je rychlost, se kterou se začnou spojené kuličky pohybovat.
Takže $u=\frac v3$
a zase ZZE
$\frac123mu^2=3mgh$
$h=\frac{u^2}{2g}=\frac{2gl}{9\cdot2g}=\frac l9$
Na obrázku vidíš, že $h=l-l\cos\alpha$
Takže
$\frac{l}{9}=l-l\cos \alpha \ \Rightarrow \ \cos \alpha =\frac89$