Matematické Fórum

↑ TerezaG:
Ahoj,

Nejdřív je nutné zjistit, jestli to vůbec má šanci konvergovat. (To je jestli platí nutná podmínka.)
Proto se vezme to, co se v té řadě sčítá. Tady konkrétně: . Pak se udělá limita pro a pokud vyjde jako nula, tak má smysl se tím dále zabývat. Jinak to stoprocentně diverguje.

Pozn. Můžeš počítat i limitu absolutní hodnoty, protože pokud má vyjít nula, tak na tom nesejde. (Buď vyjde v obou případech 0 nebo ani v jednom.)

Tak tahle limita se spočte snadno, jistě to umíš. (Prostě se v čitateli a jmenovateli vytkne nejvyšší mocnina n a zkrátí a u toho zbytku je už jasné, kam jde.

Absolutní konvergence se skutečně určuje u absolutní hodnoty výrazu  v té řadě. Nejsnazší je použít srovnávací kriterium (jde to i jinak). Neboť to tady bude fungovat a navíc se použije podobný postup jako u limity. Třeba takto:

Z toho už je jasné, že se ta řada "chová zhruba jako" , a tahle řada diverguje, takže absolutně diverguje i ta ze zadání. Formálně buď proto, že když oba zlomky podělíš a "zlimitíš" k nekonečnu, vyjde jednička...tedy se vzhledem ke konvergenci chovají podobně. Nebo se to dá zespoda odhadnout jinou divergentní řadou, třeba . (Odhad platí pro n>1, u nekonečna je tedy určitě naprosto v pohodě. :-)

Co se týče neabsolutní konvergence, tak je potřeba použít Leibnizovo nebo Dirichletovo kriterium. Leibnizovo je slabší a tady stačí. Pro něj musíš mít sumu, kde je a něco k tomu. Stačí, aby to "něco k tomu" mělo limitu nula a aby to byla monotonní posloupnost (to je moc důležité, jinak to nemusí platit). Limitu už znáš, protože jsme ověřovali nutnou podmínku. A tu monotonii (čili, že je klesající) dokážeš buďto tak, že si napíšeš n-tý a (n+1)-ní člen a dokáže, že to klesá (někdy to jde).
Druhá varianta je, že si místo n napíšeš x a představíš si, že to není posloupnost, ale funkce. Potom tu funkci zderivuješ. Jestliže má pro (protože ) zápornou derivaci, tak ta funkce musí být klesající, a tedy je i ta posloupnost klesající. A pak tedy podle Leibnize ta řada konverguje neabsolutně. Pokud to tak ale nevyjde, tak to bohužel neříká nic o tom, jestli konverguje nebo ne. (A bývá často obtížné dokázat, že tomu tak není.)

Uff...snad tenhle vyčerpávající text stačí.