Matematické Fórum

xMravenecek · 02. 12. 2007 22:03

Prosim, pomozte mi s temito dvema dukazy. Dokazte, ze plati:

$|a-b| \underline> ||a|-|b||$ v R

$|z_1+z_2| \underline< |z_1|+|z_2|$ v C

Kondr · 02. 12. 2007 23:59

Hint 1: abs. hodnota z reálného i komplexního čísla je kladné reálné číslo
Hint 2: pro dvě kladná reálná čísla r,s platí, že
$r\leq s \Leftrightarrow r^2\leq s^2$
Hint1+Hint2 => jako první ekvivalentní úpravu použijeme umocnění

Hint 3: Pro reálné L platí $|L|^2=L^2$ - v první nerovnosti se umocněním zruší abs. hodnoty (když tento hint použijeme 2x, zbude nám $-2ab\geq -2|a||b|$ ).

Hint4: Pro komplexní číslo je druhá mocnina abs. hodnoty rovna součtu druhých mocnin jeho složek.
Když položíme z1=x1+y1 a z2=x2+y2 a dosadíme za druhé mocniny abs. hodnot, tak už vyškrtáme co se dá, tak nám zbude nerovnost, která už se snadno dořeší.

xMravenecek · 04. 12. 2007 09:06

A je zde nekolikanasobne umocneni ekvivalentni uprava?

Olin · 04. 12. 2007 09:39

Ta druhá nerovnost se dá velmi pěkně ukázat graficky - když uvážíme, že komplexní číslo je svým způsobem vektor.

xMravenecek · 04. 12. 2007 10:49

asi jsem bezradnej, jsem v prvaku a moc zkusenosti ze stredni s dukazama a komplexnima cislama nemam...

xMravenecek · 04. 12. 2007 17:20

Lze treba ten druhy dukaz udelat takto?:

I. z1 = 0 a z2 = 0 plati (zrejme)

II. z1, z2 se nerovna 0, pak:
1) z1>0 a z2>0, pak lz1l=z1 a lz2l=z2 => z1+z2>0: lz1+z2l=z1+z2= lz1l+lz2l
2) z1<0 a z2<0, pak lz1l=-z1 a lz2l=-z2 => z1+z2<0: lz1+z2l=-(z1+z2)=(-z1)+(-z2)= lz1l+lz2l
3) z1>0 a z2<0, pak lz1l=z1 a lz2l=-z2 ==> a) z1+z2>=0: lz1+z2l = z1+z2 < lz1l+lz2l
==> b) z1+z2<0: lz1+z2l = -(z1+z2) = -z1+(-z2) < lz1l+lz2l

myslite, ze je to spravne? Ale jak sem koukal, takhle to vychazi pro trojuhelnokovou nerovnost v R, tak tezko rici zda to takhle muzu dokazat i v C.
Jinak prosim, zkuste mi trosku rozepsat ten prvni jak jste to mysleli..Dik moc

Kondr · 05. 12. 2007 00:36

Koukám, že jsem svůj příspěvek špatně vyTeXoval... chtěl jsem říci to, že umocnění nerovnice je ekvivalentní úpravva, pokud máš na obou stranách nezáporná čísla.

@Olin:graficky ano, jde to, akorát se domnívám, že v tomto případě se očekává spíše algebraický přístup.

@xMravenecek: Jinak tvůj poslední příspěvek vychází ze špatné definice absolutní hodnoty komplexního čísla, tak se to vážně dělat nedá (kromě "I. z1 = 0 a z2 = 0 plati (zrejme)" z toho neplatí nic.

Chtěl bych se zeptat, jestli vás moje hinty přiblížily k řešení, nebo to tu mám nějak více rozepsat.

xMravenecek · 06. 12. 2007 17:57

Spis prosim trosku o rozepsani...

Kondr · 06. 12. 2007 21:42

K tomu prvnímu:
umocníme, dostaneme
$(a-b)^2\geq (|a|-|b|)^2$ (jak jsem psal, $|x|^2=x^2$ , takže vnější abs. hodnotu můžeme ignorovat). Upravíme
$a^2-b^2-2ab\geq |a|^2+|b|^2-2|a||b|$ , tedy
$a^2-b^2-2ab\geq a^2+b^2-2|a||b|$
$-2ab\geq -2|a||b|$
Teď rozebereme 4 možné hodnoty znamének u a a b, vyjde nám, že pro shodná znaménka nastává rovnost, pro různá nerovnost kladné>záporné. Můžeme také využít známého vztahu |a||b|=|ab| a nerovnosti $|ab|\geq ab$ , pak nemusíme nic rozebírat. Důležité je uvědomit si ekvivalentnost provedených úprav.

Ke druhému
z1=x1+y1i
z2=x2+y2i
Umocněním vztahu na druhou a dosazením za abs. hodnoty:
$(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2\leq (x_1^2+y_1^2)+2|z_1||z_2|+(x_2^2+y_2^2)$
dečtením shodných členů:
$2x_1x_2+2y_1y_2\leq 2|z_1||z_2|$ ,
$x_1x_2+y_1y_2\leq |z_1||z_2|$ . Toto je Cauchyho nerovnost, kterou by mělo být možno prohlásit za známou. Pokud to možno není, msíme rozebrat dva případy:
1) nalevo je záporné číslo nebo nula => jsme hotovi
2) nalevo je nezáporné číslo, pak to můžeme umocnit:
$x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2+2x_1x_2y_1y_2\leq (x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)$ , roznásobíme
$x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2+2x_1x_2y_1y_2\leq x_1^2y_1^2+x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2+x_2^2y_2^2$