Matematické Fórum

Sandrastrelcova

Ahoj všichni,
prosím prosím o pomoc. Nejedná se o příklad, ale teorii.. Ze skript prostě neodkážu pochopit jak to funguje :( Mám na mysli podmínku jak ověřuji jestli je x nenabývá určitou hodnotu na daném okolíčku. Nějak to prostě nechápu, byl by někdo schopen mi ukázat na jednoduchém příkladě co tím básník chtěl říct? Děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-12/47219_IMG_0278%255B1%255D.JPG třeba tady.. děkuji

Sandrastrelcova · 19. 12. 2013 10:55

Chápu to tak nějak, že vypočítám limitu dané složené funkce, a x se nesmí rovnat této limitě na nějakém okolíčku??

Bati · 19. 12. 2013 11:51

↑ Sandrastrelcova:
Ahoj,
triviální příklad, kdy není splněna podmínka P (a ani S) je když vnitřní funkce je konstantní a vnější je nespojitá v této konstantě. Např. $g(x):=1$ , $f(y):=\frac{\log{y}}{y-1}$ . Potom zřejmě limita
$\lim_{x\to0}f(g(x))$ neexistuje, protože ta funkce ani není definovaná na žádném okolí nuly.

Trochu sofistikovanější příklad, který mě teď napadá, by byl tento: $g(x):=x\sin{\tfrac1x}$ , $f(y)=\frac{\log(y+1)}{y}$ . Vidíme, že $\lim_{x\to0}g(x)=0$ (sinus je omezený). Vnější funkce $f$ není v nule spojitá, takže S použít nelze. P ale také ne. To proto, že $g(\tfrac1{k\pi})=0$ pro všechna $k\in\mathbb{Z}$ . Tedy ať si zvolím libovolně malé $\delta>0$ jako poloměr toho prstencového okolí bodu 0, tak dokážu najít bod $x_k=\tfrac1{k\pi}$ tak, že $0<x_k<\delta$ a $g(x_k)=0$ , čímž jsem dokázal negaci P. Takže můžeme očekávat, že limita existovat nebude, přestože tato věta nám o neexistenci nic neříká. To, že neexistuje je ale okamžitě vidět z Heineho věty na posloupnost $x_k$ , protože $0\neq x_k\to0$ , ale posloupnost $f(g(x_k))$ ani není dobře definovaná, natož aby někam konvergovala.

Matematické Fórum

#1 19. 12. 2013 10:48 — Editoval Sandrastrelcova (19. 12. 2013 11:00)

Limita funkce - podmínka P

#2 19. 12. 2013 10:55

Re: Limita funkce - podmínka P

#3 19. 12. 2013 11:51

Re: Limita funkce - podmínka P

Zápatí