Matematické Fórum

Bati · 19. 12. 2013 23:56

Ahoj všem,
zabývám se touto funkcí: $D_n(x)=\sum_{k=1}^n\sin{kx}=\frac{\cos{\tfrac x2}-\cos{(n+\tfrac12)x}}{2\sin{\tfrac x2}}$ .
Zajímá mě její co nejlepší (horní) odhad v intervalu $(0,\pi]$ .
Snadno lze dostat, že $D_n(x)<\frac1{\sin{\tfrac x2}}\leq\frac{\pi}x$ .
Z grafu to ale vypadá, že by mělo platit $D_n(x)<^?\frac2{x}$ , nicméně důkaz tohoto se jeví překvapivě náročný. Nenapadá někoho nějaká finta?
Díky.

Brano · 20. 12. 2013 12:41 — Editoval Brano (20. 12. 2013 12:49)

Napada ma aspon uprava. Ak polozis $x=2y$ tak funkcia prejde na
$\frac{\sin [ny] \sin [(n+1)y]}{\sin y}$

potom sa to da aj zderivovat
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 … +sin%5E2+y

a skusit riesit rovnicu
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-1 … 9+y%29%3D0

tu uz wolfram moc nepomoze.

Bati · 20. 12. 2013 12:59

↑ Brano:
Díky, ta rovnice vypadá trochu snadněji, než ta, co jsem jinými úpravami dostal já:
$\cos(y/2)+\cos((1/2+n) y)+1/2 y (\sin(y/2)-(1+2 n) \sin((1/2+n) y))=0$ .
Podívám se na to.

Brano · 20. 12. 2013 13:31

↑ Bati:
len pre uplnost - tu derivaciu som este nasobil $\sin^2 y$ co riesenia neovplyvni - ale mohlo to ujst pozornosti.

Matematické Fórum

#1 19. 12. 2013 23:56

Odhad goniometrické funkce

#2 20. 12. 2013 12:41 — Editoval Brano (20. 12. 2013 12:49)

Re: Odhad goniometrické funkce

#3 20. 12. 2013 12:59

Re: Odhad goniometrické funkce

#4 20. 12. 2013 13:31

Re: Odhad goniometrické funkce

Zápatí