Matematické Fórum

hyperion · 14. 02. 2009 03:20

rada bych vedela, jak resit tento priklad:
Urcete koeficienty polynomu $y(x)=x^2+ax+b$ tak, aby byl ortogonalni k funkcim $y_1(x)=1$ a $y_2(x)=x$ , s tim, ze se skalarni soucin fci pocita $\int_{-1}^{1}{f(x)g(x)dx}$ .

Zkousela jsem ty fce navzajem spolu zintegrovat, ze by mi z toho neco vyslo, co bych polozila rovno nule, pripadne dala do soustavy rovnic, ale nak to asi nebylo to prave.. Rada bych jen radu, jak na to...

lukaszh · 14. 02. 2009 10:45

↑ hyperion:
Hľadáš vlastne tretí Legendrov polynóm. Môžeš použiť Gramm-Schmidt. Projektuješ y(x) na priestor určený funkciami y_1 a y_1. Nebudem priamo dosadzovať funkciu x^2+ax+b, ale len ortogonalizujem polynóm druhého stupňa x^2 a tam sa tie koeficienty ukážu:
$\rm{proj}(y)=y-\frac{\langle y,y_1\rangle}{\langle y_1,y_1\rangle}y_1-\frac{\langle y,y_2\rangle}{\langle y_2,y_2\rangle}y_2=x^2-\frac{\int_{-1}^{1}1\cdot x^2\,\rm{d}x}{\int_{-1}^{1}1\cdot 1\,\rm{d}x}-\frac{\int_{-1}^{1}x\cdot x^2\,\rm{d}x}{\int_{-1}^{1}x\cdot x\,\rm{d}x}x=\boxed{x^2-\frac{1}{3}}$

Rumburak

Jednodušší (po teoretické stránce) je vyjít přímo z definice ortogonality. Označíme-li [f, g] zmíněný skalární součin a y(a,b) hledaný polynom
závislý na parametrech a, b, obdržíš ze zadání úlohy soustavu rovnic [y(a,b), 1 ] = 0 , [y(a,b), x ] = 0 , což po výpočtu integrálů dává
soustavu 2/3 + 2b = 0, 2a/3 = 0 a dál je to jasné.

Matematické Fórum

#1 14. 02. 2009 03:20

ortogonalni fce

#2 14. 02. 2009 10:45

Re: ortogonalni fce

#3 17. 02. 2009 15:18 — Editoval Rumburak (20. 05. 2010 16:25)

Re: ortogonalni fce

Zápatí