Matematické Fórum

check_drummer · 21. 12. 2013 16:06

Ahoj,
jedna úloha z praxe (není zadána zcela přesně, rozmné předpoklady si doplňte prosím sami):

V čase t=0 se dovaří voda a je zalita káva v hrníčku tak, že 2/3 objemu hrníčku tvoří horká voda. Kávu chci zalít mlékem (mléko má teplotu místnosti), tak, abych naplnil celý hrníček, ale nechci ji pít ihned, ale v čase t=t1. Otázka zní, zda je lepší zalít vodu mlékem ihned v čase t=0 nebo zda se zalitím počkat až do času t=t1 nebo za to nehraje roli. V čase t1 chci mít co nejteplejší kávu. Další otázka je, zda se odpověď změní, pokud mléko bude mít jinou teplotu než pokojovou (intuitivně by mohlo, protože tím, že jej naleju do hrníčku, stane se součástí pokoje).

Pozn.: Rozumnými předpklady jsem myslel např. předpklady o výměně tepla mezi hrníčkem a okolním prostředím (místností).

pietro · 24. 12. 2013 23:18

↑ check_drummer: Ahoj, pekný príklad si zadal :-) ... ale každým okamžikom nám nespútané fotóny unikajú do vesmíru... to čo sme nazhromaždili varom do objemu tak každým kúskom času nenávratne mizne v temnote....
najteplejšiu kávu máme hneď po zvarení... to mám odskúšané..ale na konzum by bolo tak vhodné cca 37stC?

Výhodné by to bolo riešiť graficky
pozrime napr. Obr 7

medvidek · 10. 04. 2018 06:22

↑ check_drummer:
Ahoj, takové důležité téma zůstalo nevyřešené!

Přesvědčil jsem se, že pro splnění zadání je potřeba mléko přidat co šálku co nejdřív, nejlépe ještě před kávou. Pokusím se k tomu něco naznačit. Použiju hodně zjednodušující předpoklady, bude-li někdo chtít, může to případně rozšířit či upřesnit.

Vyjdu z rovnice pro tepelné ztráty přestupem tepla:
$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-k (T-T_p)S$ , neboli $mc \ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-k (T-T_p)S$
$m$ je hmotnost tělesa
$c$ je měrné teplo tělesa
$T$ je teplota chladnoucího tělesa
$k$ je součinitel přestupu tepla
$T_p$ je teplota okolního prostředí
$S$ je povrchová plocha tělesa

Budeme předpokládát, že káva vydává teplo do okolí celým svým povrchem $S$ stejně, zanedbáme ochlazování v důsledku odpařování. Prostorové rozložení teploty kávy i okolního prostředí považujeme za konstantní.

Řešením výše uvedené rovnice je teplota jako funkce času:
$T(t)=T_p+(T_0-T_p) \mathrm{e}^{-\alpha t}$
$T_0$ je počáteční teplota
$\alpha$ je časová konstanta, pro kterou platí $\alpha=\frac{kS}{mc}=\frac{kS}{\rho Vc}$
$\rho$ je měrná hustota kávy
$V$ je objem kávy

Aby bylo možné pokračovat, je třeba znát souvislost mezi povrchem $S$ a objemem $V$ a odhadnout součinitel přestupu tepla $k$ . Můžeme si zvolit například tvar válce, jehož výška je stejná jako jeho průměr. Pak lze provést dvě varianty výpočtu: smíchání+chladnutí resp. chladnutí+smíchání.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

MichalAld

↑ medvidek:
Jo jo, přesně jak píšeš (i když všechny detaily těch výpočtů jsem nekontroloval).

Přijde mi to celkem zřejmé i bez počítání - výsledná teplota kávy je určena počátečními vlastnostmi (teplota, hmotnost, tepelná kapacita) těch věcí, ze kterých se to udělá (káva, voda, mléko, hrnek), a teplem, které během procesu odejde do okolí.

A je myslím celkem zřejmé, že čím bude hrnek s kávou teplejší, tím více tepla odevzdá do okolí, a co odevzdá, už nikdy zpět nedostane.

Jediná věc, která by v principu předchozí tvrzení mohla zhatit je přenos tepla prouděním. Kolem hrnku se vytvoří vzdušný proud, který přispívá k ochlazování (a nakonec i v hrnku s kávou to bude proudit) - a nelze nějak jednoduše dokázat, že nemůže za jistých podmínek nastat inverzní situace- že při trochu nižší teplotě bude proudění odvádět více tepla než při vyšší.

Na proudění tekutin je zatím matematika krátká - je to nakonec jeden ze sedmi "matematických problémů tisíciletí" - řešení Navier-Stokesovy rovnice.

Nejlepší by tedy bylo tam nalít mlíko ještě dřív než vodu, ale asi by se to pak nedalo pít (zejména v případě turecké kávy). Já mám tedy doma inverzní problém, aby káva vychladla co nejrychleji, takže jsem přesně tuhle úlohu taky kdysi řešil. Nakonec se ale ukázalo, že zcela nejlepší řešení je přesvědčit manželku, aby mi ji zalila půl hodky před tím, než se vyhrabu z postele, hi.

medvidek · 10. 04. 2018 09:03

↑ MichalAld:
Pozdravuju manželku :)

Ta inverze mě nenapadla. A i kdyby, ihned bych ji zanedbal.

Intuitivně jsem to bral jako jasnou věc, ale je tam jeden faktor, který částečně působí "proti":
Buď máme velký povrch méně teplý, anebo malý povrch, který je teplejší. Samozřejmě to velmi záleží na vlastnostech hrnku.

Mohu říct, že v mém šálku proudí káva docela dobře. Když jsem měřil teplotu chladnutí, rozdíly nikdy nebyly větší než jeden stupeň. Dá se namítnout, že k určitému míchání teploměrem mohlo docházet, ale spíš si myslím, že k proudění dochází v důsledku ochlazování na hladině.

Matematické Fórum

#1 21. 12. 2013 16:06

Chladnutí kávy

#2 24. 12. 2013 23:18

Re: Chladnutí kávy

#3 10. 04. 2018 06:22

Re: Chladnutí kávy

#4 10. 04. 2018 08:17 — Editoval MichalAld (10. 04. 2018 08:18)

Re: Chladnutí kávy

#5 10. 04. 2018 09:03

Re: Chladnutí kávy

Zápatí