Matematické Fórum

Mirgeee · 22. 12. 2013 18:50

Dobrý den,

jak by se prosím spočítaly jednostranné limity

$\lim_{x\to0\pm } {{xe^{-x^2}}\over {\sqrt{1-e^{-x^2}}}}$

?

Díky moc

Sherlock · 22. 12. 2013 21:21

Aktivní napsal(a):
Ten spodek se dá upravit:

$\sqrt{1-e^{-x^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{e^{x^{2}}}}=\sqrt{\frac{e^{x^{2}}-1}{e^{x^{2}}}}$

Vznikne z toho součin $\frac{x}{e^{x^2}}\cdot \sqrt{\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}-1}}$

Ten se dá upravit $\frac{x}{e^{x^2}}\cdot \frac{e^{0.5\cdot x^{2}}}{\sqrt{e^{x^{2}}-1}}=x\cdot \frac{e^{0.5\cdot x^{2}-x^{2}}}{\sqrt{e^{x^{2}}-1}}$

a dál $\frac{x}{e^{0.5\cdot x^{2}}\cdot \sqrt{e^{x^{2}}-1}}=\frac{x}{\sqrt{e^{x^{2}}}\cdot \sqrt{e^{x^{2}}-1}}$

$\lim_{x\to0\pm }\frac{x}{\sqrt{(e^{2x^{2}}-e^{x^{2}})}}$

Poznámka: Ten člen $x$ je lichý, a tak se nesmí dát pod tu odmocninu, stal by se z něho sudý člen, aneb úprava
$x\Rightarrow \sqrt{x^{2}}$ je ekvivalentní jenom pro kladná x. Mohl by se k tomu vyjádřit někdo znalejší.

Jj · 22. 12. 2013 23:04 — Editoval Jj (22. 12. 2013 23:05)

↑ Mirgeee:

Dobrý večer, řekl bych, že asi lze uvažovat i takto:

Funkce $f(x)=\frac{xe^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-x^2}}}$ je lichá, takže bude platit $\lim_{x\to 0-}f(x)=-\lim_{x\to 0+}f(-x)$ ,
je tudíž možno počítat jen jednostrannou limitu pro $_{x \to 0+}$ , to zn. pro x > 0, což výpočet
zjednodušší (viz problém uvedený kolegou ↑ Aktivní:):

$\lim_{x\to 0+} \frac{xe^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-x^2}}}=\lim_{x\to 0+} e^{-x^2}\cdot \lim_{x\to 0+} \frac{x}{\sqrt{1-e^{-x^2}}}=$
$=1\cdot \lim_{x\to 0+} \sqrt{\frac{x^2}{1-e^{-x^2}}}=$ na výraz pod odmocninou užít L'Hospitala
$=\lim_{x\to 0+} \sqrt{\frac{2x}{2xe^{-x^2}}}= \lim_{x\to 0+} \sqrt{\frac{1}{e^{-x^2}}}= 1$ , čili limita zleva = -1.

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2013 18:50

Jednostranné limity

#2 22. 12. 2013 20:08 — Editoval Aktivní (22. 12. 2013 20:59) Příspěvek uživatele Sherlock byl skryt uživatelem Aktivní.

#3 22. 12. 2013 20:16 — Editoval Aktivní (22. 12. 2013 20:31) Příspěvek uživatele Sherlock byl skryt uživatelem Aktivní. Důvod: blbost

#4 22. 12. 2013 21:21

Re: Jednostranné limity

Aktivní napsal(a):

#5 22. 12. 2013 23:04 — Editoval Jj (22. 12. 2013 23:05)

Re: Jednostranné limity

Zápatí