Matematické Fórum

Tscar · 26. 12. 2013 10:41

Dobrý den,
chtěl bych dokázat, že platí výraz:
$\sum_{v=0}^{n-1} v(1+hL)^{n-1-v} = \frac{(1 + hL)^{n}-1}{(hL)^{2}} - \frac{n}{hL}$
Důkaz by se měl provést úplnou indukcí, ale nevím, jak na to. Asi by to chtělo nějak rozepsat tu sumu?
Předem díky.

Brano · 26. 12. 2013 13:16

Mas tam vela pismenok, ktore sposobuju, ze clovek pre stromy nevidi les, ale v podstate je to len jednoduchy vzorcek pre geometricku postupnost, jemne modifikovany.

$\sum_{k=0}^{n-1}x^k=\frac{x^n-1}{x-1}$ to teraz zderivujme
$\sum_{k=0}^{n-1}kx^{k-1}=\frac{nx^{n-1}(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)^2}$ prenasobme $x$ a dostaneme
$\sum_{k=0}^{n-1}kx^k=\frac{(n-1)x^{n+1}-nx^n+x}{(x-1)^2}$ teda
$\sum_{k=0}^{n-1}kx^{-k}=\frac{(n-1)x^{-n-1}-nx^{-n}+1/x}{(1-1/x)^2}$ co znova prenasobime $x^{n-1}$
$\sum_{k=0}^{n-1}kx^{n-1-k}=\frac{(n-1)x^{-2}-nx^{-1}+x^{n-2}}{(1-1/x)^2}=$
$=\frac{(n-1)-nx+x^n}{(x-1)^2}=\frac{x^n-1}{(x-1)^2}-\frac{n}{x-1}$
a uz iba staci dosadit $k=v$ a $x=1+hL$ ,

Matematické Fórum

#1 26. 12. 2013 10:41

Součet řady - důkaz

#2 26. 12. 2013 13:16

Re: Součet řady - důkaz

Zápatí