Matematické Fórum

CLieR · 29. 12. 2013 16:29 — Editoval CLieR (29. 12. 2013 18:11)

Dobrý den,

mám zadán výraz V(a,b), po úpravě dostávám:

$V(a,b) = a^{3} - b^{3}$

a) Urči nejmenší hodnotu výrazu V pro $a,b \in \mathbb{Z}$
b) Urči nejmenší hodnotu výrazu V pro $a,b \in \mathbb{R}$
c) Urči všechna čísla $a,b \in \mathbb{Z}$ , pro která je V = 2013

Potřeboval bych jen navést, děkuji.

P.S. Výraz samotný byl na začátku složitější (podíl zlomků s odmocninami), v případě nutnosti ho samozřejmě mohu dodat.

Příklad č. 2:

Mám zadán pravidelný komolý čtyřboký jehlan, znám délku horní i dolní podstavy a také tělesové úhlopříčky. Jak určit poloměr kulové plochy opsané tímto jehlanem?

marnes · 29. 12. 2013 17:06

↑ CLieR:

Osobně bych rád viděl zadaný výraz, jelikož pro a) a b) by nejmenší hodnota takto určit nešla a pro c) je taky oo mnoho řešení. V zadaném výrazu budou určitě nějaké podmínky, které řešení omezí.

CLieR · 29. 12. 2013 18:09

↑ marnes:

Hezký podvečer,

samozřejmě, byl jsem z toho jelen, když jsem uviděl po úpravě tohle a najednou otázka na nejmenší hodnotu.

Doufám, že úpravy jsem provedl správně.

Původní výraz:
$\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^\frac{2}{3}} : \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{a} - \frac{b}{a^2}}}{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}$

Podmínky jsem si určil:

$a>0$

$b \ge 0$

$a\not= b$

gadgetka · 29. 12. 2013 18:41

Úpravou mi vyšel výraz $a^2+ab+b^2$

CLieR · 29. 12. 2013 20:57

Přepočítám si tedy výsledky. Děkuji.
Nicméně, stále mi není příliš jasné, jak postupovat dále.

Pouze zahrnout podmínky?

marnes · 29. 12. 2013 21:24

↑ CLieR:

a) za daných podmínek můžeme do výrazu dosadit za a=1 a b=0 V=1
b) za daných podmínek b=0 a za a=a $V=a^{2}$
c) zatím nevím

CLieR · 03. 01. 2014 01:53

Mně tedy stále dokola vychází po úpravách
$\frac{a^3 - b^3}{(a-b)^3}$ , což je $\frac{a^2 + ab + b^2}{(a-b)^2}$

gadgetka · 03. 01. 2014 08:46

$\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}}{(a^2 - ab)^\frac{2}{3}} : \frac{\sqrt[3]{\frac{1}{a} - \frac{b}{a^2}}}{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt a+b\sqrt b}{\sqrt[3]{a^2(a-b)^2}}\cdot \frac{a\sqrt a-b\sqrt b}{\sqrt[3]{\frac{a-b}{a^2}}}=\frac{a^3-b^3}{\sqrt[3]{\frac{a^2(a-b)^3}{a^2}}}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a-b}=a^2+ab+b^2$

CLieR · 04. 01. 2014 15:00

Děkuji, samozřejmě jsem dělal opakovaně chybu u násobení třetích odmocnin, jinak vše stejně.

ohledně d) V(a,b) = 2013 jsem zvolil tento postup:

$\frac{a^3 - b^3}{a-b} = 2013$
$a^3 - 2013a = b^3 - 2013b$

Což platí pro a=b, tudíž nevyhovující podmínkám. Korektní postup?

Ohledně mého původního dovětku s jehlanem - již vyřešeno :).
Děkuji.

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2013 16:29 — Editoval CLieR (29. 12. 2013 18:11)

Nejmenší hodnota výrazu

#2 29. 12. 2013 17:06

Re: Nejmenší hodnota výrazu

#3 29. 12. 2013 18:09

Re: Nejmenší hodnota výrazu

#4 29. 12. 2013 18:41

Re: Nejmenší hodnota výrazu

#5 29. 12. 2013 20:57

Re: Nejmenší hodnota výrazu

#6 29. 12. 2013 21:24

Re: Nejmenší hodnota výrazu

#7 03. 01. 2014 01:53

Re: Nejmenší hodnota výrazu

#8 03. 01. 2014 08:46

Re: Nejmenší hodnota výrazu

#9 04. 01. 2014 15:00

Re: Nejmenší hodnota výrazu

Zápatí