Matematické Fórum

erzebet · 29. 12. 2013 21:07

Vedel by mi niekto poradiť ako určím relativny vnutrajšok množiny $X=\{x^2+y^2+2y\le 0\}\bigcup_{}^{}\{[0,1]\}$ ?

jelena · 30. 12. 2013 00:00

Zdravím,

dotazy, co jsi umístila v posledním období, mne zaujaly, jelikož při větší snaze bych to snad mohla i pochopit, ale je to pro mne nový pohled na pojmy, tak to moc nejde.

Do tohoto tématu (a do dalších 2 od Tebe) přidám odkaz na materiál, ze kterého (zřejmě) jsou definice - tak?). Snad by to mohlo kolegy oslovit.

Pomůže v této úloze upravit 1. množinu na předpis kruhu? $X=\{x^2+y^2+2y+1\le 1\}\bigcup_{}^{}\{[0,1]\}$ . Druhá množina je úsečka? Děkuji.

erzebet · 30. 12. 2013 08:28

S tým učebným textom máš pravdu :) Čo sa týka zjednotenia množín, tak je to zjednotenie kruhu ktory ma stred v $[0,-1]$ a bodu ktory je nad týmto kruhom, ale čo s tým ďalej je pre mňa záhadou...

Rumburak · 30. 12. 2013 10:54

↑ erzebet:

Zadání není celé. Je třeba ještě specifikovat, vůči kterému metrickému (či topologickému) prostoru
se má ten vnitřek hledat.

Příklad: Vnitřkem kompaktní úsečky AB (k níž počítáme i oba krajní body) je

- ta úseška sama , pokud uvažujeme její vnitřek v prostoru tvořeném pouze úsečkou AB ,

- ta úsečka ochuzená o své krajní body, pokud uvažujeme její vnitřek v přímce, jejíž je součástí,

- prázdná množina, pokud uvažujeme její vnitřek v nějaké rovině, jejíž je součástí.

erzebet

Ale zadanie je celé, resp. je zo skúškovej písomky a nič viac k tomu nie je. Len či si nezabudol na "prívlastok" relatívny k tomu vnútrajšku? Ten je definovany ako mnozina vsetkych relativne vnutornych bodov. Relativne vnutorny bod je ten ktoreho nejake okolie $O(x)\cap aff X\in X$ , kde $aff X$ je afinny obal mnoziny X, co je mnozina vsetkych afinnych linearnych kombinacii na mnozine X. Ten podla mna vyzera v tomto pripade nasledovne :
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-12/00919_affX.png

Moja úvaha:
*jednoduchy priklad: pre usecku AB je relativny vnutrajšok(riX) usecka bez krajnych bodov a relativna hranica su prave tieto krajne body.
*nas priklad : pre zjednotenie mnozin je relativnym vnutrajskom $\{x^2+(y+1)^2< 1\}$ a relativnou hranicou je $\{x^2+(y+1)^2=1\}\cup \{[0,1]\}$

Je moja uvaha spravna?

Rumburak

↑ erzebet:

Právě ten přívlastek "relatívny" mne dovedl k úvahám, které jsem naznačil, protože "relativní" znamená "vztažený (k něčemu)".
Vysvětlím (na metrických prostorech) relativnost v toplogických záležitostech.

Nechť $(P, \varrho)$ je metrický prostor. K libovolné uspořádané dvojici $[z, \varepsilon]$ , kde $z\in P$ , $\varepsilon > 0$ , je jednoznačně určena
neprázdná množina

$U_P^{\varepsilon}(z) := \{\,x \in P : \varrho(z, x) < \varepsilon \,\}$ ,

která se nazývá $\varepsilon$ -ové okolí bodu $z$ v prostoru $(P, \varrho)$ (ovšem úplně přesně bychom ji měli značit dejme tomu $U_{P, \varrho}^{\varepsilon}(z)$ ,
avšak jednoduchost zápisu má také své výhody). Ke každému bodu $z\in P$ je tak přiřazen systém $T_P(z)$ všech jeho okolí
v prostoru $(P, \varrho)$ . Od pojmu "okolí bodu" se odvíjejí ostatní topologické pojmy, jako jsou otevřenost a uzavřenost množin,
vnitřek a uzávěr množiny, limita posloupnosti, limita a spojitost zobrazení a mnohé další. Všechny tyto pojmy jsou závislé na
výchozím prostoru $(P, \varrho)$ , proto říkáme "množina je otevřená v prostoru $(P, \varrho)$ " a podobně.

Vezměme nyní neprázdnou množinu $A \subset P$ a označme symbolem $\alpha$ funkci, která je zúžením funkce $\varrho$ na množinu $A \times A$ .
Není těžké nahlédnout, že $\alpha$ je metrikou definovanou na množině $A$ , takže $(A, \alpha)$ je rovněž metrickým prostorem.
(Říkáme, že $(A, \alpha)$ je podprostorem metrického prostoru $(P, \varrho)$ .)

Vezměme bod $a\in A$ . K němu jsou definovány dva obecně různé systémy jeho okolí , a sice $T_A(a)$ , v němž

$U_A^{\varepsilon}(a) := \{\,x \in A : \alpha(a, x) < \varepsilon \,\} = \{\,x \in A : \varrho(a, x) < \varepsilon \,\}$

(neboť $a$ patří do prostoru $(A, \alpha)$ ), a $T_P(a)$ (neboť $A \subset P$ a tudíž $a$ patří i do prostoru $(P, \varrho)$ ). Další množina
$M \subset A$ proto může mít v prostoru $(A, \alpha)$ jiné topologické vlastnosti než v prostoru $(P, \varrho)$ .
Na tomto principu je založena relativnost topologických pojmů.

P.S.
Dodatek k Tvému poslednímu příspěvku dokládá, že původní zadání skutečně nebylo celé, o afinním obalu ses tam nezmiňoval.

Stýv · 30. 12. 2013 18:36

abyste se tu zbytečně nehádali, když máte oba pravdu, tak si zahraju na mediátora:

"relativní vnitřek" ve světě erzebet znamená totéž, co "vnitřek vůči afinnímu obalu" ve světě Rumburakově. tedy zadání je ve světě erzebet úplné, zatímco v Rumburakově světě není:)

↑ erzebet: obávám se, že ten afinní obal si představuješ špatně. nikde není psáno, že ta přímka musí procházet tím bodem [0,1], může procházet nějakými body toho kruhu. čili afinní obal je celá rovina. na výsledku to ale nic nezmění

erzebet · 30. 12. 2013 18:39

Jasné!! Ďakujem;))

erzebet

↑ Stýv: Vedel by si mi poradit ako urcit konicky obal takejto mnoziny dakujem:)) Alebo tato mnozina nema konicky obal?

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2013 21:07

relativni vnitrek

#2 30. 12. 2013 00:00

Re: relativni vnitrek

#3 30. 12. 2013 08:28

Re: relativni vnitrek

#4 30. 12. 2013 10:54

Re: relativni vnitrek

#5 30. 12. 2013 11:32 — Editoval erzebet (30. 12. 2013 12:15)

Re: relativni vnitrek

#6 30. 12. 2013 13:09 — Editoval Rumburak (31. 12. 2013 11:48)

Re: relativni vnitrek

#7 30. 12. 2013 18:36

Re: relativni vnitrek

#8 30. 12. 2013 18:39

Re: relativni vnitrek

#9 04. 01. 2014 08:31 — Editoval erzebet (04. 01. 2014 08:32)

Re: relativni vnitrek

Zápatí