Matematické Fórum

Jaxx84 · 15. 02. 2009 18:41

Zdravím,

Bod se pohybuje po ose ,x' tak, že závislost jeho dráhy na čase je dána vztahem x=k/2*(e^(kt)+e^(-kt)), kde ,k' je konstanta. Vyjádřete jeho rychlost a zrychlení jako funkci souřadnice ,x'.

Moje základní úvaha byla, že velikost vektoru rychlosti je první derivace polohového vektoru podle času, z kterého známe ale pouze souřadnici x. Lze tedy zadaný vztah pouze zderivovat podle ,t'? Ovšem není to pak spíše vyjádření rychlosti jako funkce času? Nevím jak si poradit se zadáním, trochu mě mate co se po mě vlastně chce =) Něco jako v(x)= ... ...? Ale jak potom na to?

Ekvivalentně poté pro zrychlení jako druhou derivaci...

Děkuji za jakýkoliv nápad.

Pavel Brožek

Já bych si to přepsal pomocí hyperbolického kosinu

$x(t)=k\cosh(kt)$ .

Snadno pak derivováním dostaneme rychlost a zrychlení jako funkci času.

$v(t)=k^2\sinh(kt)\nl a(t)=k^3\cosh(kt)$

Teď už stačí eliminovat t pomocí funkce x(t). Je tedy vidět, že $a(x)=k^2x$ . Pro vyjádření závislosti rychosti na poloze budeme muset použít známý vzorec pro hyperbolické funkce.

Jaxx84 · 15. 02. 2009 19:30

↑ BrozekP:↑ BrozekP:

Super! Mockrát děkuji za nápad, vůbec by mě nenapadlo v tom hledat hyperbolické vyjádření pomocí e^x a přitom to bije do očí =)
Akorát malý dotaz: Proč při derivaci x(t) na v(t) není -sinh ale +? Tzn. že by pak a(t) bylo také s mínus...

Pavel Brožek · 15. 02. 2009 19:55

↑ Jaxx84:

Zkus si odvodit derivaci sinh a cosh tak, že si je vyjádříš pomocí exponenciel a pak přepíšeš zpět.

Jaxx84 · 16. 02. 2009 06:34

↑ BrozekP:

Ještě pro kontrolu $a(x)=k^2x$ je mi jasné,
ale pokud vyjadřuji $v(x)$ vyšlo mi že:

$\frac{v}{x}=\frac{k^2.sinh(kt)}{k.cosh(kt)}$ tzn.: $v(x)=x.k.tgh(kt)$

Otázka je, jestli bylo vyhověno zadání, protože $v(x)$ je nyní funkce závislá jak na ,x' tak na čase ,t'. Nenapadá mě jak jinak vyjádřit sinh z cosh, abych se zbavil času. Pokud výraz upravím pomocí vzorce $cosh^2(kt)-sinh^2(kt)=1$ stejně bude ve výsledku proměnná ,t' ve výrazu cosh(kt)

Pavel Brožek

Pomocí $\cosh^2(kt)-\sinh^2(kt)=1$ se dá získat v(x), nevím, proč by tam mělo t zůstat. Z

$v(t)=k^2\sinh(kt)\nla(t)=k^3\cosh(kt)$

si vždy vyjádři tu hyperbolickou funkci, umocni na druhou a dosaď do $\cosh^2(kt)-\sinh^2(kt)=1$ .

Matematické Fórum

#1 15. 02. 2009 18:41

Mechanika - vyjádření rychlosti a zrychlení jako funkce souradnice

#2 15. 02. 2009 18:57 — Editoval BrozekP (15. 02. 2009 18:58)

Re: Mechanika - vyjádření rychlosti a zrychlení jako funkce souradnice

#3 15. 02. 2009 19:30

Re: Mechanika - vyjádření rychlosti a zrychlení jako funkce souradnice

#4 15. 02. 2009 19:55

Re: Mechanika - vyjádření rychlosti a zrychlení jako funkce souradnice

#5 16. 02. 2009 06:34

Re: Mechanika - vyjádření rychlosti a zrychlení jako funkce souradnice

#6 16. 02. 2009 09:46 — Editoval BrozekP (16. 02. 2009 09:48)

Re: Mechanika - vyjádření rychlosti a zrychlení jako funkce souradnice

Zápatí