Matematické Fórum

lotoska · 02. 01. 2014 13:39 — Editoval jelena (03. 01. 2014 00:33)

dobrý den, prosím mohl by mi někdo pomoci.

př.
napište rovnice os ostrých úhlů, jejichž ramena leží na přímkách, které mají rovnice

6x-8y+11=0
12x+5y+2=0

výsledek
42x+154y-123=0
198x-5y+163=0

vůbec nechápu, jak k tomuto výsledku došli, zkoušela jsem to sčítací metodou, ale výsledek mi nevychází vůbec.
Nevíte, prosím někdo, jak na to ?

gadgetka

Průsečík zadaných přímek bude vrcholem ostrého úhlu (ostrých úhlů) a podle tvých výsledků máš hledat osu úhlu. Řešení např. přes jednotkové vektory zadaných přímek.

lotoska · 02. 01. 2014 15:37

já jsem to asi nepochopila, zkoušela jsem vyjádřit x i y, ale nevychází mi výsledek

gadgetka

$(1)\enspace 6x-8y+11=0\enspace |\cdot (-2)$
$(2)\enspace 12x+5y+2=0$
-------------------------------------
$(1)-2(2):$
$21y-20=0$
$y=\frac{20}{21}$

x si vyjádříš např. z (1) a dopočítáš.
Tím zjistíš vrchol ostrých úhlů. Pak si normálové vektory zadaných přímek převedeš na jednotkové a jejich výslednice leží na přímce, na které leží hledaná osa úhlu.

gadgetka

Druhá osa úhlu je kolmicí k nalezené ose úhlu (tebou uvedený druhý výsledek není správný).

lotoska · 02. 01. 2014 16:34

↑ gadgetka:

x=- $\frac{71}{126}$

normálový vektor
o1= ( 6,-8)
směrový vektor
(8,6)

normálový vektor
o2=( 12,5)
směrový vektor
( 5,12)

zkouším to zadat do rovnice, ale nevychází mi to

gadgetka

Do jaké rovnice? Máš vrchol úhlu, bod, který leží na hledané ose úhlu. Součtem jednotkových vektorů získáš normálový vektor hledané osy (sestavíš rovnici přímky ax+by+c=0, kde a,b jsou souřadnice normálového vektoru). Po dosazení vrcholu úhlu do rovnice přímky, vypočítáš "c". Získáš rovnici přímky (osy úhlu).
Pokud si nevíš rady s jednotkovým vektorem: Normálový vektor přímky je (6; -8). Jednotkový vektor získáš podělením souřadnic velikostí normálového vektoru (=druhá odmocnina součtu druhých mocnin souřadnic vektoru). Čili $|\vec{n_p}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}$ .

gadgetka · 02. 01. 2014 17:21

Jednotkový vektor první zadané přímky: $\vec {u}=$\frac{6}{10}, -\frac{8}{10}$=$\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}$$ , protože její normálový vektor je $\vec {n_p}=(6, -8)$ a jeho velikost je $|\vec{n_p}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10$

Stejným způsobem vyjádři jednotkový vektor druhé přímky a označ ho jako $\vec{v}$ . Výslednice těchto vektorů je pak $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$ , která je normálovým vektorem hledané přímky, na které leží osa úhlu.

To, cos tu uvedla, je blbina na entou... ;) Úplně v tom plaveš, viď? Analytiku je potřeba pochopit, pak je to zábava. Fakt. :)

lotoska

$v=(12,5)$
np=13
$v=\frac{12}{13},\frac{5}{13}$

$w=\frac{3}{5}+\frac{12}{13}$

$w=\frac{99}{65}$

$w=\frac{-4}{5}+\frac{5}{13}$
$w=\frac{-27}{65}$

pořád nechápu co dál

gadgetka · 02. 01. 2014 18:39

Normálový vektor přímky máš dobře, ale ten výpočet "c" už nikoli.
Rovnice přímky, na které leží osa úhlu je:
$\frac{99}{65}x-\frac{27}{65}y+c=0$
Za x a y dosadíš souřadnice vrcholu úhlu a dopočítáš "c".

lotoska

$\frac{99}{65}\cdot (-\frac{71}{126})-\frac{27}{65}\cdot \frac{20}{21}+c=0$
$\frac{-7029}{8190}-\frac{540}{1365}+c=0$
$\frac{-7029}{8190}-\frac{108}{273}+c=0$

$c=\frac{163}{130}$

teď nechápu, jak mám udělat ty rovnice.

gadgetka

U prvního zlomku se mi v druhém řádku nelíbí jmenovatel. :) Zkus krátit, co se dá a výsledný zlomek zjednodušit (až na 130 ve jmenovateli).

gadgetka

Tak a teď máš rovnici:
$\frac{99}{65}x-\frac{27}{65}y+\frac{163}{130}=0$
Celou rovnici vynásob 130 a máš rovnici přímky, na které leží osa úhlu.

lotoska · 02. 01. 2014 20:15

↑ gadgetka:
dostala jsem ji, jak se prosím dopočítám k té další rovnici ?

gadgetka · 02. 01. 2014 20:29

Druhá osa je kolmá na tuto přímku, čili její normálový vektor je kolmý k normálovému vektoru přímky, kterou jsi vyřešila. Jaké bude mít souřadnice?

lotoska · 02. 01. 2014 20:46

↑ gadgetka:
NORMÁLOVÝ VEKTOR U=(198,-54)

gadgetka

... přímky, cos vyřešila, ano. Ale ty potřebuješ normálový vektor, který je na něj kolmý. Jaké bude mít souřadnice?
Pro kolmé vektory platí:
$\vec{n_p}\cdot \vec{n_q}=0$

gadgetka

Lotosko, ty v tom úplně plaveš. Měla bys sednout a nastudovat veškeré základy k analytické geometrii. Když mám jeden normálový vektor (198; -54) a mám k němu najít kolmý, tak ten kolmý musí mít souřadnice (54; 198), protože platí: $(198; -54)\cdot (54; 198)= 198\cdot 54 +(-54)\cdot 198=0$ . Stejným způsobem (co jsme výše počítaly) sestavíš rovnici přímky, dosadíš vrchol úhlu, dopočítáš "c", upravíš a dostaneš rovnici přímky, na které leží druhá osa úhlu.

lotoska

$54x+198y+c=0$
$54\cdot (\frac{-71}{126})+198\cdot \frac{20}{21}+c=0$
$c=\frac{-1107}{7}$

gadgetka · 02. 01. 2014 22:02

Lotosko, to nemyslíš vážně, viď? Normálový vektor přímky, kterou hledáš, je (54; 198). Sestav rovnici přímky a dosaď za x a y vrchol úhlu, jehož souřadnice jsi už vypočítala. Tím najdeš "c". Upravíš a máš hotovo.

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2014 13:39 — Editoval jelena (03. 01. 2014 00:33)

vzájemná poloha dvou přímek

#2 02. 01. 2014 15:21 — Editoval gadgetka (02. 01. 2014 15:22)

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#3 02. 01. 2014 15:37

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#4 02. 01. 2014 16:05 — Editoval gadgetka (02. 01. 2014 16:06)

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#5 02. 01. 2014 16:10 — Editoval gadgetka (02. 01. 2014 16:53)

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#6 02. 01. 2014 16:34

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#7 02. 01. 2014 17:01 — Editoval gadgetka (02. 01. 2014 17:02)

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#8 02. 01. 2014 17:12 Příspěvek uživatele lotoska byl skryt uživatelem lotoska.

#9 02. 01. 2014 17:21

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#10 02. 01. 2014 18:02 — Editoval lotoska (02. 01. 2014 19:28)

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#11 02. 01. 2014 18:39

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#12 02. 01. 2014 19:07 — Editoval lotoska (02. 01. 2014 19:34)

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#13 02. 01. 2014 19:19 — Editoval gadgetka (02. 01. 2014 19:20)

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#14 02. 01. 2014 20:05 Příspěvek uživatele lotoska byl skryt uživatelem lotoska.

#15 02. 01. 2014 20:09 — Editoval gadgetka (02. 01. 2014 20:10)

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#16 02. 01. 2014 20:15

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#17 02. 01. 2014 20:29

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#18 02. 01. 2014 20:46

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#19 02. 01. 2014 20:49 — Editoval gadgetka (02. 01. 2014 20:53)

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#20 02. 01. 2014 20:57 Příspěvek uživatele lotoska byl skryt uživatelem lotoska.

#21 02. 01. 2014 21:01 Příspěvek uživatele lotoska byl skryt uživatelem lotoska.

#22 02. 01. 2014 21:14 Příspěvek uživatele lotoska byl skryt uživatelem lotoska.

#23 02. 01. 2014 21:41 — Editoval gadgetka (02. 01. 2014 22:04)

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#24 02. 01. 2014 21:57 — Editoval lotoska (02. 01. 2014 22:13)

Re: vzájemná poloha dvou přímek

#25 02. 01. 2014 22:02

Re: vzájemná poloha dvou přímek

Zápatí