Matematické Fórum

Makakpo · 03. 01. 2014 15:38

Zdravim, akurat studujem algebraicke struktury ako grupa, pologrupa, pole, okruh, teleso atd. a chcem sa opytat azda medzi nimi funguje nieco podobne ako medzi mnozinami cisel, chcem povedat ze ako mnozina cely cisel je podmnozinou realnych cisel a v istom zmysle pod ne spada tak azda sa daju taketo vztahy urobit aj v tomto zmysle. Mam pocit ze napriklad pologrupa je slabsi pojem ako grupa, nieco som o tom hladal neviem ale nic najst. Poradte prosim.

OiBobik

↑ Makakpo:

Ahoj,

není moc jasné, jak si tuto hierarchii představuješ. Je jich samozřejmě (přinejmenším) hned několik. : ))

1) Struktura - podstruktura. Například grupa a její podgrupa. Jde o podmnožinu nosiče prvků oné struktury, která je uzavřená na všechny operace dané struktury (tj. kdykoli na prvky takové množiny použiju některou z operací dané alg. struktury, výsledek bude opět prvek dané množiny). Tedy taková množina spolu s operacemi "zděděnými" z původní struktury je stejný druh struktury.

2) Silnější struktura - slabší struktura stejného typu. Třeba těleso a okruh. Jde o struktury stejného typu (tj. mají stejný počet stejných operací), dokonce splňují docela dost stejných axiomů, ale ne každý okruh je těleso. Naproti tomu každé těleso je okruh (tj. tělesa jsou některé "speciální" okruhy). (Tady trochu podvádím - záleží na přesné definici tělesa. Pokud uznám $(\bullet)^{-1}$ , tj přiřazení inverzu nenulovému prvku, jako jakousi parciální operaci, a definuju těleso jako strukturu i s takovou operací, pak toto nebude pravda, protože okruh a těleso budou mít jinou signaturu - a tento případ spadne pod 3). Taková definice navíc vyhovuje bodu 1) ve smyslu, že "podstruktura" tělesa bude skutečně podtěleso a ne jen okruh. Korektní příklad pro toto by však byl například obor integrity a okruh - ne každý okruh je obor integrity, avšak každý obor integrity je okruh).

3) "Silnější struktura s jinou signaturou". Příkladem může být třeba okruh a komutativní grupa. Kdykoli mám okruh, stačí zapomenout na operaci násobení a konstantu 1 a koukat jen na sčítání, odčítání a 0 - a mám grupu (aditivní grupu daného okruhu). Tento příklad zní docela fádně, ale často se takováto fakta můžou hodit (chci-li třeba dokázat něco o kongruencích okruhu, hodí se vědět, že každá kongruence okruhu je kongruencí aditivní grupy onoho okruhu - můžu pak použít cokoli, co vím o kongruencích grup. Duálně totéž pro podstruktury). Sem spadá i tvůj příklad "grupa - pologrupa" (i když opět záleží na přesné definici grupy - lze ji buď definovat pomocí jedné binární operace a několika složitějších podmínek, nebo pomocí tří operací a několika jednodušších podmínek - druhý způsob si myslím, že je častější).

Příklad:

Uvažujme třeba ten tvůj příklad $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{R}$ . Pak

1) Uvažujme na $\mathbb{R}, \mathbb{Z}$ jejich příslušné operace $+,-,0,\cdot,1$ . Pak $\mathbb{Z}$ je podokruhem okruhu $\mathbb{R}$ .

2) Není to ovšem podtěleso $\mathbb{R}$ , ačkoli $\mathbb{R}$ je (spolu s oněmi operacemi výše) těleso.

3) Uvažujme grupu $(\mathbb{Z},+,-,0)$ . Pak $(\mathbb{Z},+)$ je pologrupa. Všimni si, že je mezi nimi docela velký rozdíl, ačkoli "se v nich počítá stejně" (ve smyslu: operace $-,0$ lze jednoduchými formulemi zadefinovat pouze z operace $+$ ). Pokud mě budou třeba zajímat podgrupy $\mathbb{Z}$ , bude jich obecně méně ("co do inkluze"), než podpologrup: Například $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$ je nosičem podpologrupy, ovšem ne podgrupy (je uzavřená na $+$ , ale ne na $-$ , a jestli $0 \in \mathbb{N}$ , to záleží na konvenci).

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2014 15:38

algebraicke struktury

#2 03. 01. 2014 21:17 — Editoval OiBobik (03. 01. 2014 22:44)

Re: algebraicke struktury

Zápatí