Matematické Fórum

fwvwg · 03. 01. 2014 18:37

Dobrý den. Ještě jeden příklad tu mám. Asi to nebude nějak složité, ale já v tom řešení zatím nevidím.
Zadání:
Pole posuvů při deformaci tuhého tělesa je popsáno funkcí $\mathbf{u(x)}=\left(x_{1}x_{3}-x_{2},\: x_{1}^{2}-x_{3},\: x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\right)$ . Určete tenzor napětí v bodě $M=\left[0.1,0.3,5\right]$

Pokud to pomůže, umím z toho vypočítat tenzor malých deformací. Děkuji za pomoc.

fwvwg · 06. 01. 2014 19:20

Takže si (opět) odpovím sám:
Z pole posuvů vypočítám tenzor malých deformací e podle vztahu
$e_{jk}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{j}}\right)=\left(\begin{array}{ccc} x_{3} & \frac{2x_{1}-1}{2} & \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\\ \frac{2x_{1}-1}{2} & 0 & \frac{x_{1}-1}{2}\\ \frac{x_{1}+x_{2}}{2} & \frac{x_{1}-1}{2} & -2x_{3} \end{array}\right)$

Zobecněný Hookeův zákon pro izotropní těleso určuje vztah mezi tenzorem malých deformací a tenzorem napětí: $\tau_{ij}=\lambda\delta_{ij}e_{ij}+2\mu e_{ij}$ , kde veličiny λ, μ se nazývají Laméovy koeficienty a udávají vlastnosti tělesa při deformaci.

Hledaný tenzor napětí je tedy:
$\tau_{ij}=\left(\begin{array}{ccc} x_{3}\left(\lambda+2\mu\right) & \mu\left(2x_{1}-1\right) & \mu\left(x_{1}+x_{2}\right)\\ \mu\left(2x_{1}-1\right) & 0 & \mu\left(x_{1}-1\right)\\ \mu\left(x_{1}+x_{2}\right) & \mu\left(x_{1}-1\right) & -2x_{3}\left(\lambda+2\mu\right) \end{array}\right)$

A v bodě $M=\left[0.1,\,0.3,\,5\right]$ má tvar:
$\tau_{ij}=\left(\begin{array}{ccc} 5\left(\lambda+2\mu\right) & -\frac{4}{5}\mu & \frac{2}{5}\mu\\ -\frac{4}{5}\mu & 0 & -\frac{9}{10}\mu\\ \frac{2}{5}\mu & -\frac{9}{10}\mu & -10\left(\lambda+2\mu\right) \end{array}\right)$

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2014 18:37

Určení tenzoru napětí v bodě při znalosti pole posuvů

#2 06. 01. 2014 19:20

Re: Určení tenzoru napětí v bodě při znalosti pole posuvů

Zápatí