Matematické Fórum

woody25 · 06. 01. 2014 19:46

Dobrý deň, potreboval by som pomoc s nasledujúcim príkladom, netuším ako mám k danej funkcii nájsť f.inverznú. Potreboval by som aj postup, pretože vtedy sa dokážem naučiť ako treba podobné príklady riešiť. Ďakujem za vašu pomoc.
Funkcia je zadaná predpisom $g(x):ln(\sqrt{x-1)}$

a) Ak funkcia spĺňa podmienky pre určenie inverznej funkcie, určte ju.
b) Nájdite definičný obor a obor hodnôt inverznej funkcie $g^{-1}(x)$

vengi · 06. 01. 2014 21:11 — Editoval vengi (06. 01. 2014 21:12)

V podstate ide o prevod medzi exponencialnou a logaritmickou funkciou. (def obor asi zvladas)

Je treba si uvedomiť, že tieto dva vztahy su ekvivalentne:
$a^{x}=y$
$x = \log_{a}y$

A vediet medzi nimi prepinať. Ale pravdupovediac, mne sa to dlho plietlo a radsej pouzivam kde sa dá, tento vzorcek, resp. jeho obmenu:
$x = x . 1 = x . \ln e = \ln e^{x}$
Čiže ja si ho pamatam len zac a koniec, ale hore je odvodenie:
$x = \ln e^{x}$
Takže ta inverzia potom vyzera.
$x = \ln \sqrt{y-1}$
$\ln e^{x} = \ln \sqrt{y-1}$
Odlogaritmovať a dalej by to už malo ísť.

Samozrejme nezabudnut na def obor.

woody25 · 06. 01. 2014 22:00

Ďakujem pekne za pomoc, avšak, nedokážem si s tým rady ani ďalej. Moja matematika má už veľké nedostatky, a príklady podobného typu potrebujeme ku skúške z predmetu matematika pre chemikov. Naučil som sa derivovať, sčasti i integrovať, avšak tieto funkcie sú nad moje sily,a zvlášť logaritmické,inverzné... Zlatá to stredoškolská matematika...

vengi · 06. 01. 2014 22:03

Ako že nie. Odlogaritmovať znamená, že z oboch stran odoberiete "ln"
Zostane:
$e^{x}=\sqrt{y-1}$
Potom umocniť obe strany ..zvládate? :)

woody25 · 06. 01. 2014 22:12

No mal by som dostať $y=e^{2x}+1$
Avšak nie som si istý či sa nemalo umocniť aj e

vengi · 06. 01. 2014 22:27

↑ woody25: dobre ste to umocnili. Este definicny obor

woody25 · 06. 01. 2014 22:47

Neviem čo musí platiť pre e. Musí byť kladné? ...A mám len 20,poprosím tykať ;)

vengi · 06. 01. 2014 23:02

Ok.
Pre e v podstate nič.
Začnime od začiatku. Zadaná funkcia, aké má obmedzenia?
Je tam logaritmus a odmocnina.
Odmocnovať v realnych cislach vieme iba kladné čísla a nulu. Logaritmus dokážeme iba z kladného čísla... Tak si to daj dokopy a vieš definičný obor povodnej funkcie D(f)

Obor hodnot je trochu zložitejší, treba vedieť, ako vyzera graf logaritmickej funkcie. V podstate ln dostane na vstupe lubovolne kladne číslo a výsledok je ... treba si pozrieť graf log. funkcie. Aké y-ony tam môžu vyjsť. Z toho budeme mať H(f)

No a pri inverznej je to naopak, vymení sa definičný obor s oborom hodnot:
$D(f^{-1}) = H(f)$ definičný inverznej sa rovná oboru hodnot pôvodnej funkcie
$H(f^{-1}) = D(f)$ obor hodnot inverznej sa rovná definičnému oboru pôvodnej funkcie