Matematické Fórum

Megan · 06. 01. 2014 20:27

Ahoj, mám zjistit množinu všech řešení nerovnice $3x - 2\sqrt{x}-1< 0$
Umocnila jsem ji a vyšla mi kvadratická nerovnice $9x^{2}-10x+1 <0$ , kořeny jsou 1 a 1/9, což je špatně
má to vyjít $\langle0,1)$
prosím poradil byste mi někdo?

gadgetka · 06. 01. 2014 21:11

1. Musíš udělat podmínku pro odmocninu: $x\ge 0$
2. Převedeš odmocninu na pravou stranu: $3x-1<2\sqrt x$
3. zjistíš znaménka obou stran nerovnice: L pro $x \in (-\infty; \frac 13\rangle$ záporná, pro $x\in \langle \frac 13; \infty)$ kladná, P vždy kladná, ale protože podmínkou je $x\ge 0$ , tak první interval se zúží na $\langle0; \frac 13\rangle$
4.
$x \in \langle 0; \frac 13\rangle: \enspace L<0 \enspace P>0 \Rightarrow L<P \enspace K_1=\langle 0; \frac 13\rangle$
$x\in \langle \frac 13; \infty): L>0, P>0\Rightarrow$ obě strany můžeme umocnit:
$9x^2-6x+1<4x\\ 9x^2-10x+1<0\\ (x-1)(9x-1)<0\\ x\in $\frac 19; 1$$

$$\frac 19; 1$ \cap \langle \frac 13; \infty) \Rightarrow K_2=\langle \frac 13; 1)$

$D(f): K_1\cup K_2=\langle 0; 1)$

zdenek1 · 06. 01. 2014 21:51

↑ Megan:
Nic neumocňuj a udělej substituci $\sqrt x=a$ + podmínky $a\ge0$ , $x\ge0$
$3a^2-2a-1<0$
$(3a+1)(a-1)<0$
$a\in(-\frac13;1)$ a spolu s podmínkou $a\in\langle0;1)$
a už jen dopočítáš $x$

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2014 20:27

Nerovnice

#2 06. 01. 2014 21:11

Re: Nerovnice

#3 06. 01. 2014 21:51

Re: Nerovnice

Zápatí