Matematické Fórum

↑ hanb: Kdybys to vzal jako realnou funkci realne promenne x: , tak to pro ma limitu . Neni to definovane pro , tedy napriklad na jakemkoli podintervalu intervalu je to omezene a klesajici (graf je preci hyperbola).

Posloupnost (tedy ) se tedy chova podobne, je omezena, klesajici a ma limitu .

Jenze tve zadani jeste k tomu strida znaminko. Tedy tvoje posloupnost je omezena, neni ani rostouci, ani klesajici, a nema limitu (ma vsak dva hromadne body, a to a ).

↑ hanb:

ahoj, dekovala jsem predcasne.
podle ceho poznam, ze je ta posloupnost omezena? Ja to proste nevidim, asi jsem fakt natvrdla...
Co mam zkoumat nejdriv? jestli je rostouci, klesajici nebo omezena nebo ma limitu?

↑ hanb:

Podle mne je nejlepší opírat se o přesné definice zkoumaných pojmů, případně o věty, které o nich pojednávají. To se nejlépe naučíte podrobným studiem důkazů takových vět.

Jako příklad nastíním důkaz věty  "Posloupnost, která má VLASTNÍ (tj. konečnou) limitu , je omezená".


Nechť tedy A je vlastní limitou posloupnosti (a_n).

Pojem omezené posloupnosti má svoji definici, která říká, že  posloupnost (a_n) je omezená tehdy a jen tehdy, existuje-li číslo K > 0 takové, že

(1)                 |a_n| < K  pro každou (přípustnou)  hodnotu indexu n .

(Číslo K musí být KONEČNÉ, tedy nikoliv  +oo  - pak by totiž nerovnost (1) byla splněna vždy, takže každá číselná posloupnost by byla omezená
a definice omezené posloupnosti by pak postrádala obsah.)

S důkazem věty budeme hotovi, pokud najdeme vhodné číslo K takové, aby platilo (1).

Nyní použijeme předpoklad, že posloupnost (a_n) má VLASTNÍ limitu A . Kladné číslo "epsilon" fungující v definici limity můžeme vzít nyní
zcela konkretně, položme např. epsilon = 100. Dle definice limity pak existuje konečné kladné číslo D takové, že pro každý index n > D je

                                 | a_n  - A |  < 100  ,

z čehož odstraněním absolutní hodnoty a úpravou postupně získáváme     -100  <   a_n  - A   < 100  , 

(2)                              A - 100  <   a_n   < A + 100 .

Položme

                                B =  max ( |A - 100| , |A + 100|) .

Potom   B >= |A + 100| >= A + 100.
Oobdobně   B >= |A - 100| = |100 - A| >= 100 - A ,  z čehož  -B <= A - 100 .
Tyto nerovnosti spolu s (2) dávají

                          -B  <=   A - 100  <   a_n   < A + 100  <=  B .

Čísla A - 100 , A + 100 nyní už nebudeme potřebovat, v poslední nerovnosti je podstatné, že  -B  <=   a_n   <=  B , 
což znamená

(3)                                     |a_n| <=  B    pro každý index n > D .

Nyní se zabývejme indexy n <= D .
Pokud žádný takový neexistuje (např. když by bylo  D = 1/2), pak stačí položit  K = B + 1  a z (3) pak snadno plyne (1).
Pokud takové indexy existují, může jich být pouze konečný počet,  tudíž existuje KONEČNÉ číslo

                                         C = max { |a_n| ; n přírozené ,  n <= D },

takže

(4)                                     |a_n| <=  C    pro každý index n <=  D .


Každý člen a_n naší posloupnosti tedy splňuje buďto nerovnost (3) nebo (4), čísla B, C jsou zřejmě nezáporná a konečná.
Ani v tomto případě není těžké nalézt  kladnou konstantu K tak, aby platilo (1) pro každý čllen posloupnosti.

↑ hanb: To, co pise ↑ Rumburak:, je sice hezke, ale vyzaduje jisty nadhled.

Neni pravda, ze posloupnost, ktera strida znamenko, nema limitu (touto limitou totiz muze byt nula, coz v nasem pripade neni, ale to je vedlejsi).

Ja bych doporucil nasledujici postup, takovy nazorny... i kdyz matematicky mozna ne uplne nejkorektnejsi, ale snad se za to na me tady nesesype vlna kritiky. Pripadne kritiky mohu ujistit, ze bych to tez umel s epsilony a deltami, ale ono je nekdy potreba i umet "lidsky" vysvetlit.

Stredani znaminka nikdy nic podstatneho pro omezenost neznamena: maximalne se ti tak bude jedno cislo zobrazovat nad osou x a jedno pod ni, takze to zprvu neber v potas. Pak si misto posloupnosti predstav realnou funkci - tedy misto 'n z N' vem 'x z R'. Tuto funkci si nacrtni (pokud to hned nevidis). Vidis, ze je hyperbola?

No a na teto hyperbole si ted udelej puntiky v bodech x=1, x=2, x=3, x=4, atd. To je ona posloupnost, pripadne jeste teda to stridani znamenka - tedy pro licha x ten vyznaceny bodik dej symetricky pod osu x.

A ted je vlastne reseni videt, ze?

Kdyby tam nebylo to (-1)^n, tak by to bylo klesajici. Takto to neni ani rostouci ani klesajici a dokazes to treba tak, ze prvni clen je zaporny, druhy kladny (tedy sem to roste) a treti zase zaporny (tedy to sem klesa).

Pokud jde o tu omezenost, tak je videt, ze se "to tlaci k ose x" a nejdale od ni je to v bode n=1, takze tato hodnota muze slouzit jako tzv. dolni zavora, resp. jeji absolutni hodnota jako horni zavora (coz je dobre, ale zbytecne hodne: jako horni zavora bohate staci hodnota pro n=2).

Spojita hyperbola mela horizontalni asymptotu v y=1/2, tedy kladne cleny posloupnosti pujdou limitne k 1/2, zatimco ty zaporne k -1/2. Tedy o limite nemuze byt rec, zato mame tzv. dva hromadne body.

Pomohl jsem?

"Lidské" vysvětlení je obecně fajn,  pro úvod do problému určitě (navíc to od ↑ musixx: je velmi názorné),  ale nemusí vždy poskytovat záruku, že s ním jako student uspěji u zkoušky.

↑ hanb:
S tím zcela souhlasím.  Hodně zdaru !