Matematické Fórum

drabi · 11. 01. 2014 15:54

Ahoj,
potřebovala bych pomoct s jedním krokem v důkazu optional stopping theorem:

Nechť $\mathcal{F}_n$ je filtrace a $(X_n)$ je $\mathcal{F}_n$ -submartingal. Nechť $T$ je markovský čas a nechť $T < \infty$ s.j.
Potom $\left( X_{T \wedge n} \right)$ je $\mathcal{F}_n$ -submartingal.

Chci tedy ukázat, že $\left( X_{T \wedge n} \right) \in \mathbb{L}_1$ , $\left( X_{T \wedge n} \right)$ je $\mathcal{F}_n$ -adaptovaná posloupnost, která má submartingalovou vlastnost tj.
$\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_n \right] \ge X_{T \wedge n}$ .

Postupuji takto:
Z optional sampling theorem vím, že $X_{T \wedge n} \in \mathbb{L}_1$ , protože minimum dvou markovských časů je opět markovský čas.
Dále vím:
$\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T \wedge n} \right] \ge X_{T \wedge n}$
A také, že $\mathcal{F}_{T \wedge n} \subset \mathcal{F}_{n}$ .

Tedy dostávám
$X_{T \wedge n} \le \text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T \wedge n} \right] = \text{E}\left[\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T \wedge n} \right] | \mathcal{F}_n \right] = \text{E}\left[\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_n \right] | \mathcal{F}_{T \wedge n} \right]$
a toto by mělo být $\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_n \right]$ , ale nějak nechápu proč by tomu tak mělo být.

Prosím, mohl by mi to někdo vystvětlit? Díky moc

Stýv · 11. 01. 2014 17:03

elegantní důkaz má Myšák, pomocí indikátorů by to mělo jít udolat i takhle napřímo

drabi · 11. 01. 2014 17:07

↑ Stýv:
Díky za reakci a odkaz.
O jiných důkazech vím, ale v tomto mě zaráží právě ta poslední úprava. Nejde mi vlastně ani o důkaz věty jako o tu danou úpravu, které bohužel nerozumím.

Stýv · 11. 01. 2014 18:05

rozděl to pomocí indikátorů na případy $T\leq n$ a $T>n$ . pro $T\leq n$ je $X_{T \wedge (n+1)}=X_T$ $\mathcal{F}_T=\mathcal{F}_{T \wedge n}$ -měřitelná. pro $T>n$ je $\mathcal{F}_{T \wedge n}=\mathcal{F}_n$ . z toho už to snad je vidět

drabi · 11. 01. 2014 19:06 — Editoval drabi (11. 01. 2014 19:36)

↑ Stýv:
tak tedy
pro $T>n$ je $\mathcal{F}_{T \wedge n}=\mathcal{F}_n$ a mám:
$X_{T \wedge n} \le \text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T \wedge n} \right] = \text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{n} \right]$

pro $T\leq n$ je $\mathcal{F}_T=\mathcal{F}_{T \wedge n}$ a mám:
$X_{T \wedge n} \le \text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T \wedge n} \right] = \text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T} \right] = \text{E}\left[\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T} \right] | \mathcal{F}_n \right] = \text{E}\left[\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_n \right] | \mathcal{F}_{T} \right]$
ale tady se dostávám do toho bodu, kde nevím kam dál.
Možná je to zřejmé ale momentálně to bohužel nevidím (omlouvám se za natvrdlost). Mohl bys mi to, prosím, ozřejmit?

EDIT:
pro $T\leq n < n+1$ je ale $X_{T \wedge n+1} \in \mathcal{F}_T$ , takže
$\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T} \right] = \text{E}\left[\text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{T} \right] | \mathcal{F}_n \right] = \text{E}\left[ X_{T \wedge n+1} | \mathcal{F}_{n} \right]$ .
Je to tak dobře?