Matematické Fórum

liamlim

Přeji pěkný večer,

Celý večer jsem něco zkoušel a teď nejsem moc schopný zkontrolovat správnost mého postupu. Úlohu jsem vymyslel, proto nemusí vůbec zadání platit - právě proto bych byl rád za kontrolu mého řešení této úlohy, abych věděl, že její výsledek můžu použít. Tvrzení, které jsem dokazoval, je tady:

Dokažte, že jestliže pro přirozené $n>1$ platí $a^n+b^n=c^n$ , pak platí také $(a+b-c)^n = \sum_{k=1}^{n-1}\sum_{l=1}^{n-k}{n\choose k}{n-k\choose l}(a+b-c)^{n-k-l}(c-a)^k(c-b)^l$

Nejprve jsem dosadil $n=2$ a $n=3$ . Pro obě tyto hodnoty velmi rychle jde vidět, že tvrzení platí. Můj pokus o důkaz teď napíšu:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Když si čtu můj "důkaz" myslím si že může být problém při práci se sumami na které pořád ještě nejsem zvyklý, a bez nichž si myslím, že postup nelze zapsat. Doufám že je postup správný. Jestliže platí věta, kterou jsem napsal hned na začátku, byl bych moc rád, protože jsem ji tímto způsobem odvodil.

Za potvrzení nebo vyvrácení té věty bych byl rád... děkuji.

otázka: "je pravdivý výrok, který jsem dokazoval?"

Freedy · 12. 01. 2014 12:02 — Editoval Freedy (12. 01. 2014 12:02)

Jen bych se chtěl zeptat, co jsou neznámé k l ?

liamlim · 12. 01. 2014 12:22

↑ Freedy:

Já si to představuji takhle: Na začátku mám $(a+b-c)^n = \sum_{k=1}^{n-1}\sum_{l=1}^{n-k}{n\choose k}{n-k\choose l}(a+b-c)^{n-k-l}(c-a)^k(c-b)^l$ . tu první sumu rozepíšu pomocí $k$ od jedné až po $n-1$ na:

$(a+b-c)^n = \sum_{l=1}^{n-1}{n \choose 1}{n-1\choose l}(a+b-c)^{n-1-l}(c-a)^1(c-b)^l + \\\sum_{l=1}^{n-2}{n \choose 2}{n-2\choose l}(a+b-c)^{n-2-l}(c-a)^2(c-b)^l + \\\sum_{l=1}^{n-3}{n \choose 3}{n-3\choose l}(a+b-c)^{n-l-3}(c-a)^3(c-b)^l+ \\\cdots + \\\sum_{l=1}^{1}{n \choose n-1}{n-(n-1)\choose l}(a+b-c)^{n-l-(n-1)}(c-a)^1(c-b)^l$ .

Teď bych si všechny ty součty rozepsal pro $l$ od $1$ do $n-k$ - těch hodnot je tam několik různých. No a po tom kompletním rozepsání bych tam měl jen hromadu součtů obsahujících jen čísla a proměnné $a,b,c$ . Ty čísla $k,l$ vyjadřují jen závislost toho součtu.

Doufám že říkám srozumitelně co píšu, sám s tolika součty naráz jsem ještě nepracoval

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2014 01:37 — Editoval liamlim (12. 01. 2014 01:40)

důkaz mocniny

#2 12. 01. 2014 12:02 — Editoval Freedy (12. 01. 2014 12:02)

Re: důkaz mocniny

#3 12. 01. 2014 12:22

Re: důkaz mocniny

Zápatí