Matematické Fórum

Inferi · 04. 12. 2007 08:16

'Ahoj, nevím si rady s tímhle příkladem, stále mi vychází nějak divně. Zadání je dokažte matematickou indukcí, že platí:

1 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^n = 1/2 (3^(n + 1) - 1)

Olin · 04. 12. 2007 09:37

Pro n = 0 zřejmě platí. Nyní předpokládejme, že to platí pro nějaké n a chceme ukázat, že to platí i pro n+1. Tedy:

$1+3+3^2+\cdots+3^n = \frac{1}{2}(3^{n+1} - 1)\nl 1+3+3^2+\cdots+3^n + 3^{n+1} = \frac{1}{2}(3^{n+2} - 1)$
Odečteme první rovnost od druhé a dostáváme:
$3^{n+1} = \frac{1}{2}(3^{n+2} - 1) - \frac{1}{2}(3^{n+1} - 1)\nl 2 \cdot 3^{n+1} = (3^{n+2} - 1) - (3^{n+1} - 1)\nl 2 \cdot 3^{n+1} = 3^{n+2} - 3^{n+1}\nl 2 \cdot 3^{n+1} = 2 \cdot 3^{n+1}$
Tím je důkaz hotov.

Marian · 04. 12. 2007 11:06

Pravdu sice mas, ale neni v tom dobre videt, co je predpoklad a co se ma dokazat.

Zkusim rekapitulovat ...

(1) [zaklad indukce]
pro n=0 se overi vzorec trivialne.

(2) [indukcni krok]
Predpokladejme, ze pro vsechna prirozena cisla $m$ takova, ze $m\le n$ , kde $n$ je nejake fixni prirozene cislo plati vztah

$1+3^1+\cdots +3^m=\frac{3^{m+1}-1}{2}$ . Dokazeme, ze plati i pro n+1.

Pro n+1 vypada vyraz, ktery je dan (ma byt dan) jednodussim vzorcem tento:

$1+3^1+\cdots +3^{n+1}$ .

Plati ale

$1+3^1+\cdots +3^{n+1}=(1+3^1+\cdots +3^n)+3^{n+1}$ .

Odtud aplikaci induktivniho predpokladu pro volbu m=n mame

$1+3^1+\cdots +3^{n+1}=(1+3^1+\cdots +3^n)+3^{n+1}=\frac{3^{n+1}-1}{2}+3^{n+1}$ .

Odtud se snadno ukaze, ze posledne uvedeny vyraz je roven vyrazu

$\frac{3^{n+2}-1}{2}$ .

Indukcni krok u konce a tedy indukce samotna take.

Matematické Fórum

#1 04. 12. 2007 08:16

Důkaz matematickou indukcí

#2 04. 12. 2007 09:37

Re: Důkaz matematickou indukcí

#3 04. 12. 2007 11:06

Re: Důkaz matematickou indukcí

Zápatí