Matematické Fórum

aircrew · 12. 01. 2014 21:22

Ahoj, potřebuji vyřešit rovnici při zjišťování maxim a minim funkce, ale nevím si rady s jednou částí...Mohl by mi někdo prosím poradit, jak vyřešit rovnici $\ln (4x^{2}+y^{2})+\frac{8x^{2}}{4x^{2}+y^{2}}=0$ ?

Blackflower · 12. 01. 2014 22:05

↑ aircrew: Ahoj,
dala som to do Wolframu a vychádzajú dosť divočiny, ak chceš, tak si to pozri: odkaz
Mne napadá len jedno riešenie: súčet bude nula, keď budú obidva sčítance nula.
Čiže niečo takéto:
$\ln(4x^2+y^2)=0\Rightarrow 4x^2+y^2=1$
$\frac{8x^2}{4x^2+y^2}=0$ - menovateľ nemôže byť nula, čiže čitateľ bude nula

aircrew · 12. 01. 2014 22:27

Joo, to ono to asi bude vycházet docela divoce, ale je to tak správně :D Možná nějak využít toho, že $(4x^2+y^2)$ je tam v tom výrazu dvakrát a nějak to zasubsituovat, ale nevím jak..nenapadá někoho ještě něco?

Blackflower · 12. 01. 2014 22:30

↑ aircrew: Keby sme využili z toho logaritmu, že $4x^2+y^2=1$ a z druhej rovnice $8x^2=0$ , tak by sme dostali riešenia $x=0$ , $y_1=1$ , $y_2=-1$ . Neviem, či to tak naozaj má byť, ale nič rozumnejšie mi momentálne nenapadá.

vojta_vorel · 12. 01. 2014 23:07

Ahoj

Blackflowerova myšlenka, že musí oba sčítance být nulové je užitečná, ale platí jenom tehdy, když předpokládáme, že $4x^2+y^2 \ge 1$ . Pak vskutku ten logaritmus nevyjde záporný a má-li součet vyjít nula, musíme být v jednom ze zmíněných bodů: $x=0$ , $y_1=1$ , $y_2=-1$ (ty body lze hezky identifikovat srovnáním zmíněného a tohodle.
Nicméně, jak je vidět na osmičkovitém obrázku na Wolframu, existuje nekonečně mnoho dalších řešení. Jestli se dají popsat nějak explicitněji než naší rovnicí, to tedy netuším..

Vojta

jelena · 12. 01. 2014 23:25

Zdravím,

pokud dobře odhaduji zadaní funkce od kolegy ↑ aircrew:, tak k řešení zatím použil jen parciální derivaci po x, nedá soustava s parciální derivaci po y něco použitelného? Snad by pomohlo původní zadání funkce.

aircrew · 12. 01. 2014 23:55

$\ y*(ln (4x^{2}+y^{2})+\frac{8x^{2}}{4x^{2}+y^{2}})=0$

$\ x*(ln (4x^{2}+y^{2})+\frac{2y^{2}}{4x^{2}+y^{2}})=0$

Tak takhle vypadá celá soustava..4 kořeny bylo lehký najít, zatím mám tedy (+-1/2,0),(0,+-1)..Další řešení by měli být dvojce $(\pm 1/2\sqrt{2e},\pm 1/\sqrt{2e} )$ Omlouvám se jestli to bylo nedostatečně popsané..

jelena · 13. 01. 2014 00:28

↑ aircrew:

děkuji, je lepší napsat hned zadání funkce a vzniklou soustavu. Soustavu
$\ln (4x^{2}+y^{2})+\frac{8x^{2}}{4x^{2}+y^{2}}=0$
$\ln (4x^{2}+y^{2})+\frac{2y^{2}}{4x^{2}+y^{2}}=0$

vyřešíš vynásobením jednoho řádku (-1) a sečtením, po úpravě bude nulový jen čitatel, který jde rozložit na součin: $4x^2-y^2$ , ale už asi bylo použito. Raději přidej i původní zadání funkce, prosím. Potom překontrolovat, které kombinace ze součinů ještě nebyly využité (už je celkem pozdě na takové kontroly), za mne až zítra večer.

aircrew · 14. 01. 2014 16:24

Děkuji, původní funkce je $f(x,y)=xy.ln(4x^{2}+y^{2})$ a úkol tedy je najít lokální extrémy..

jelena · 14. 01. 2014 20:33

↑ aircrew:

děkuji, derivace mi vyšly stejně. Pokračuji tedy v použití $4x^2-y^2=0$ , po rozkladu na součin to jsou body na primkách $y=2x$ , $y=-2x$ . Po dosazení do $\ln (4x^{2}+4x^{2})+\frac{8x^{2}}{4x^{2}+4x^{2}}=0$ atd.
Je už komplet? Děkuji.