Matematické Fórum

efka · 13. 01. 2014 09:35

Prosím, potřebuji pomoc se závěrem příkladu!
Příklad: Když pospícháme schody můžeme vzít po dvou. Jindy došlápneme na každý schod zvlášť. Jestli-že používáme oba dva druhy pohybů (1. krok- na následující schod, 2. skok- vynechání jednoho schodu). KOLIKA RŮZNÝMI ZPŮSOBY MOHU ZDOLAT n SCHODŮ?

Výsledek je: n schodů mohu zdolat Fn+1 způsoby.

DÁLE ZJISTI ČEMU SE ROVNÁ an? (z fib. posl. an+2 = an+1 + an)

Děkuji!!!

vojta_vorel · 13. 01. 2014 10:04

Ahoj

V těch schodech už máš tedy jasno a jedná se jen o tu závěrečnou otázku?

Vojta

efka · 13. 01. 2014 10:08

Ano,
schody jsem pomocí obrázku pochopila, ale nevím ten závěr..
Děkujiii!!!

vojta_vorel · 13. 01. 2014 10:20

No, tak zřejmě se po tobě chce, abys dokázala tohle:
$a_{n} = \cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ .

To je vzoreček, který kupodivu vyjde vždycky jako celé číslo a vskutku vyplivuje Fibonacciho čísla. Nevím, jestli existuje nějaký postup, jak ho odvodit zcela bez triků a bez "uhodnutí" nějakého nápadu.
Zásadní tedy je, jestli ti stačí jeho platnost dokázat (to je lehké), nebo musíš odvodit jeho tvar.

Vojta

efka · 13. 01. 2014 10:45

Takže, tohle je vzoreček, který prostě platí - chápu správně? Předpokládám, že nelze nijak jednoduše odvodit..
A právě nejsem si jistá zda jsem dobře pochopila zadání příkladu...když to převedu k mému zadání- zjišťuji tímhle šíleným vzorcem vlastně Fn?
díky!

vojta_vorel · 13. 01. 2014 11:50

Je to tak, ten vzoreček popisuje přesně tu záležitost se schodama. Když chci zjistit, kolik je možností pro $n$ schodů, dosadím tam $n+1$ a vyjde mi přesně $F_{n+1}$ .
Úplně jednoduché odvození asi existovat nebude. V angličtině se dají vygooglit nějaká celkem rozumná odvození (zadal jsem "fibonacci derive formula"), vždy se tam ale objevuje něco typu "uhodneme, že to a to vyjde ve tvaru $c_1\cdot {a_1}^n+c_2\cdot {a_2}^n$ a dopočítáme konstanty $a_1,c_1,a_2,c_2$ ".
Když ale máš ten vzorec v ruce, je lehké ho dokázat. Stačí, abys ověřila že platí pro dvě nejnižší hodnoty $n$ a pak že když dosadíš obecné $n$ a pak obecné $n+1$ a sečteš výsledné vzorce, vyjde nakonec to samé jako když dosadíš $n+2$ .

Vojta

Honzc · 13. 01. 2014 12:14 — Editoval Honzc (13. 01. 2014 13:01)

↑ efka:
Nebo také platí: $a_{n}=F_{n}=\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{k=0}^{\llcorner \frac{n-1}{2}\lrcorner}5^{k}{n \choose 2k+1}$
A nebo ještě lépe $a_{n}=F_{n}=\sum_{k=0}^{\llcorner \frac{n-1}{2}\lrcorner}{n-k-1 \choose k}$
přičmž $\llcorner \frac{n-1}{2}\lrcorner$ značí celá část výrazu $\frac{n-1}{2}$

efka · 13. 01. 2014 12:41

Děkuji za všechny rady!!!
Jen ještě jeden (možná hloupý dotaz)- musím ty příklady ne jen vypočítat, ale i obhájit- tzn. kde ty vzorce mohu najít?Abych to nějak obhájila, že to používám?děkuji

efka · 13. 01. 2014 12:54

Děkuji za všechny rady!!!
Jen ještě jeden (možná hloupý dotaz)- musím ty příklady ne jen vypočítat, ale i obhájit- tzn. kde ty vzorce mohu najít?Abych to nějak obhájila, že to používám?děkuji

Honzc · 13. 01. 2014 13:14

↑ efka:
Všechny vzorečky lze nalézt Zde
a to konkrétně vzorečky (6),(63),(64). U toho posledního jen uděláš substituci n+1=n,
Ovšem nejhezčí je ten obrázek nad těmi posledními vzorečky (63,64)
Když se na něj podíváš, tak je to takový speciální Pascalův trojúhelník.
Pascalův trojúhelník dává koeficienty pro binomický rozvoj.
To vlevo je obyčejný Pascalův trojúhelník a z něho pod těmi šikmými přímkami jsou koeficienty té sumy ze vzorečku (64).

efka · 13. 01. 2014 16:29

děkuji!!

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2014 09:35

Fibonacciho posloupnost

#2 13. 01. 2014 10:04

Re: Fibonacciho posloupnost

#3 13. 01. 2014 10:08

Re: Fibonacciho posloupnost

#4 13. 01. 2014 10:20

Re: Fibonacciho posloupnost

#5 13. 01. 2014 10:45

Re: Fibonacciho posloupnost

#6 13. 01. 2014 11:50

Re: Fibonacciho posloupnost

#7 13. 01. 2014 12:14 — Editoval Honzc (13. 01. 2014 13:01)

Re: Fibonacciho posloupnost

#8 13. 01. 2014 12:41

Re: Fibonacciho posloupnost

#9 13. 01. 2014 12:54

Re: Fibonacciho posloupnost

#10 13. 01. 2014 13:14

Re: Fibonacciho posloupnost

#11 13. 01. 2014 16:29

Re: Fibonacciho posloupnost

Zápatí