Matematické Fórum

Polopat · 15. 01. 2014 10:36

Dobrý den, prosím o pomoc s důkazem následující věty:

Buď f bijekce topologického prostoru X na topologický prostor Y. Potom následující výroky jsou ekvivalentní:
1) f je homeomorfismus
2) Pro každou množinu A, která je podmnožinou X, platí, že obraz jejího vnitřku v X je vnitřek v Y obrazu množiny A.

Kdyby byla A otevřená, tak to chápu. Obraz otevřené množiny je otevřená množina. Ale s uzavřenou si nevím rady...

Rumburak

↑ Polopat:

Zdravím .

Obecná podmnožina A topologického prostoru X ho rozdělí na 3 disjunktní části (některé mohou být prázdné), jimiž jsou

- vnitřek množiny A ,
- vnitřek množiny X-A ,
- hranice množiny A (= hranice množiny X-A).

Ta poslední je uzavřená, ostatní jsou otevřené. Stačí tato nápověda ?

jarrro · 15. 01. 2014 11:00

uzavretá je predsa doplnok otvorenej
zaujímavejší je prípad keď množina nie je ani otvorená ani uzavretá

Polopat · 15. 01. 2014 11:48

↑ Rumburak:
Bohužel se v tom ztrácím. Každá myšlenka mě vždycky zavede jenom k tomu, že obraz otevřené je otevřená a uzavřené uzavřená. Že obraz vnitřku A leží v obrazu A je mi jasné, ale že je roven vnitřku toho obrazu, k tomu nevím vůbec jak dojít. Zkoušel jsem aplikovat totéž třeba v opačném směru, ale vždy jsem se v tom nějak ztratil...

Rumburak

↑ Polopat:

Ten důkaz nebude možno provést úplně šmahem už proto, že máme dokázat ekvivalenci dvou výroků, konkretně výroků

(1) f je homeomorfismus ,

(2) pro každou množinu A, která je podmnožinou X, platí, že obraz jejího vnitřku v X je vnitřek v Y obrazu množiny A,

tedy dvě implikace

I. (1) implikuje (2) ,

II. (2) implikuje (1) .

Nejprve se tedy musíme rozhodnout, s kterou z těchto dvou částí začneme a na tu se zaměřit.

vanok · 15. 01. 2014 13:52

Poznamka
Je dobre pripomenut definiciu homeomorfismu:
http://en.wikipedia.org/wiki/Homeomorphism

Brano · 16. 01. 2014 14:42 — Editoval Brano (16. 01. 2014 14:42)

Mozem napisat nejake hinty, aby sa to pohlo:

$1\Rightarrow 2$
Pre $A\subseteq X$ uvazujme $U=\text{int }A$ a $V=\text{int }f(A)$
chces dokazat, ze $f(U)=V$ - co sa da rozbit na dva kroky
$f(U)\subseteq V$ a $f^{-1}(V)\subseteq U$ .

$2\Rightarrow 1$
Chces dokazat, ze $f$ je spojite a otvorene. Dokazat, ze je otvorene je trivialne. Na spojitost mozes ist sporom. Predpokladaj, ze mame $V\subseteq Y$ otvorenu taku, ze $A=f^{-1}(V)$ nie je otvorena. Zamysli sa co potom z toho vyplyva pre $f(\text{int } A)$ .

Polopat · 16. 01. 2014 22:20

↑ Brano:
Omlouvám se, že jsem se neozýval, nebyl čas.

Jinak jsem si řekl, že obraz vnitřku A je podmnožina obrazu A. Obraz vnitřku A je ale otevřená množina, takže je roven vnitřku obrazu vnitřku A. Vnitřek je největší otevřená podmnožina, takže vnitřek obrazu A nemůže být "menší" než vnitřek obrazu vnitřku A, tudíž je nadmnožinou. Opačná inkluze by se dokázala analogicky. Je to tak?

Na druhou implikaci se ještě podívám. Děkuji za trpělivost.

Polopat · 16. 01. 2014 22:33

↑ Brano:

A ve druhé implikaci vyjde, že obraz vnitřku A bude V, tedy vnitřek A bude vzorem V. Jenže vnitřek A je otevřený a to je spor.

Brano · 17. 01. 2014 11:48

↑ Polopat:
skoro, ale ides na to dobre - vyuzivame to, ze homeomorfizmus zobrazuje otvorene mnoziny na otvorene v oboch smeroch.

kedze $U\subseteq A$ , tak aj $f(U)\subseteq f(A)$ , lenze $f(U)$ je otvorena a teda $f(U)\subseteq V$ (z toho dovodu co si napisal, len zatial nemame rovnost)
uplne rovnakym argumentom dostaneme $f^{-1}(V)\subseteq U$ a na obe strany aplikujeme $f$ a dostaneme $V\subseteq f(U)$ - cize mame obe inkluzie a teda aj ziadanu rovnost.

v druhej implikacii sa mi zda, ze mas pravdu - len to mas napisane trosku nejasne, tak si nie som na 100% isty co tym myslis, tak napisem ja ako som to myslel - ten spor som skonstruoval na trosku inom mieste

Ak $f^{-1}(A)$ nie je otvorena, tak pre $U=\text{int }A$ plati, ze $U\subset A$ -t.j. $V\not=A$ . Lenze z (ii) mame $f(U)=\text{int }f(A)=\text{int }V=V=f(A)$ co je spor.

Pozn. Takouto logikou sa to da vlastne dokazat aj priamo - co sa obvykle povazuje za slusnejsi dokaz. Takze by to islo takto:

Vezmime si lubovolnu otvorenu $V\subseteq Y$ . Oznacme $U=\text{int }f^{-1}V$ - teda $U$ je to urcite otvorena. Z (ii) plati $f(U)=\text{int }ff^{-1}V=\text{int }V=V$ a teda $U=f^{-1}V$ .