Matematické Fórum

Letmery.Ondarex · 15. 01. 2014 16:26

Ahoj,
pomohl by mi prosím někdo s následujícím příkladem?

Otevřený systém hromadné obsluhy je typu M/M/3 a má frontu FIFO s délkou omezenou na 1 požadavek. Do systému přichází požadavky se střední frekvencí 2000 pož./hod. a jeden kanál obsluhy je schopen zpracovávat požadavky se střední frekvencí 1000 pož./hod.
Nakreslete graf přechodů markovského modelu systému.

Řešení tohoto příkladu, resp. graf znám, ale nechápu ho (viz níže). Vím, že $\lambda$ je střední frekvence přícházejících požadavků do systému a $\mu$ je střední frekvence obsloužení. Co nechápu je, proč mám celkem pět stavů (0,1,2,3,4) a proč je u některých přechodů $2\mu$ či $3\mu$ .

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/99501_markov.jpg

Jj · 15. 01. 2014 19:40

↑ Letmery.Ondarex:

Dobrý večer.
V systému může najednou být 0 - 4 zákazníci (max = 1 fronta + 3 obsluhovaní) --> 5 stavů.

J-li systém ve stavu 2 = dva obsluhovaní u dvou zařízení, je intenzita obsluhy dvojnásobná.
Podobně při třech obsluhovaných u tří zařízoení - dtto. trojnásobná.

Letmery.Ondarex · 15. 01. 2014 21:32

↑ Jj:

Aha, děkuji.

Měl bych k tomuto příkladu ještě jeden dotaz. A sice jak by se řešilo zadání níže.

Napiště vzorec pro určení střední délky fronty ze známých limitních p-tí stavů modelu.

Jj · 16. 01. 2014 10:27

↑ Letmery.Ondarex:

Tak to se mi už z hlavy vykouřilo. Ještě zkusím, ale nebylo by to rychle. Asi až večer.

Letmery.Ondarex · 16. 01. 2014 18:29

↑ Jj:

Ok, za každou pomoc budu rád :-)

Kdyžtak sem napíšu správné řešení (opět ale nechápu, jak se k němu dospělo).

$L_{w} = p_{4}$
$L_{q} = \sum_{}^{}i\cdot p_{i}$ přičemž $(i = 0,...,4)$

Jj · 16. 01. 2014 21:51 — Editoval Jj (16. 01. 2014 21:54)

↑ Letmery.Ondarex:

Pokud máte za úkol "nakreslit graf přechodů markovského modelu systému", pak graf
uvedený ve vašem dotazu není úplný. Jsou uvedeny přechody mezi stavy, ale schází
záznam možnosti, že systém může taky zůstat beze změny stavu (= přechod ze stavu
do téhož stavu).
Značí (značíval se) se šipkou ze stavu která se obloučkem vrací k témůž stavu s příslušným
ohodnocením>

u přechodu $_{p_{00} = 1-\lambda}$ (tj. pro přechod ze stavu 0 do stavu 0) atd.
$_{p_{11} = 1-\lambda -\mu}$
$_{p_{22} = 1-\lambda -2\mu}$
$_{p_{33} = 1-\lambda -3\mu}$
$_{p_{44} = 1-3\mu}$
Kromě toho by (podle mně) měl být v řadě poslední stav označen 4 (místo 3).

Model je dále popsán rovněž soustavou diferenciálních rovnic 1. řádu pro pravděpodobnosti
$_{p_0(t) \sim p_4(t)}$ , kde $_{p_i(t)}$ = pravděpodobnost, že systém se v čase
t nachází ve stavu i. Po jistém čase se systém stabilizuje a tyto pravděpodobnosti jsou
cca konstantní = limitní pravděpodobnosti, o nichž se hovoří v úloze.

Tyto se určí z uvedených diferenciálních rovnic, které po stabilizaci systému (derivace se již
nemění) přejdou v soustavu lineárních algebraických rovnic. Jejím řešením jsou konstatní
limitní pravděpodobnosti $_{p_0, p_1, p_2, p_3, p_4}$ , z nichž se určují různé a jiné charakteristiky
stabilizovaného systému obsluhy. Pro systémy M/M/n není výpočet limitních pravděpodobností
až tak jednoduchý. Platí vztah $_{\sum_{i=0}^{4}p_i = 1}$ (systém v některém ze stavů být musí).

Tolik osvěta k pochopení úkolu - napsat vzorec pro určení střední délky fronty ze známých
limitních p-tí stavů modelu:

Fronta je obsazena jedině v případě, že v systému jsou obsluhováni 3 zákazníci a během doby
jejich obsluhy přijde čtvrtý zákazník. V řeči modelu to znamená, že systém je ve stavu 4,
jehož limitní pravděpodobnost jsme označili $_{p_4}$ . Zákazník ve frontě je nanejvýš jeden,
související pravděpodobnost jen jedna, čili

Střední hodnota délky fronty = $_{\sum_{i=1}^{1}i\cdot p_4 = p_4}$ , což koresponduje s Vámi
uvedeným řešením $L_{w} = p_{4}$ .

Pokud jde o vztah $_{L_{q} = \sum_{i = 0}^{4}i\cdot p_{i}}$ , můžeme ho dešifrovat
jako střední hodnotu počtu zákazníků v systému (tím myslím v obsluze + ve frontě).

Význam indexů uvedených u L neznám.

Letmery.Ondarex · 17. 01. 2014 02:06

↑ Jj:

Aha, děkuji za vysvětlení. Co se týče toho posledního stavu, tak je tam opravdu chyba (správně tam má být 4 - špatně jsem to nakreslil). Jen tak pro kontrolu, jestli to opravdu chápu... Jak by se změnila střední hodnota délky fronty, když by v zadání bylo, že FIFO je omezená na 2 požadavky? Dopadlo by to takto?

Mark. model.:
Pozn. variantu, že systém může zůstat beze změny stavu chápu, ale ve škole to v žádném z řešených příkladů nebereme v potaz, tak to neuvádím ani zde do grafu.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/20251_markov2.jpg

stav 0 = nulový počet požadavků
stav 1 = obluhován 1 požadavek
stav 2 = oblushování 2 požadavků
stav 3 = oblushování 3 požadavků
stav 4 = oblushování 3 požadavků + 1 požadavek ve frontě
stav 5 = oblushování 3 požadavků + 2 požadavky ve frontě

střední hodnota délky fronty = $\sum_{i=1}^{2}i\cdot p$ = $(1 \cdot p_{3})+(2\cdot p_{4})$ = $p_{3}+2p_{4}$

střední hodnota počtu požadavkůc systému (obluha+fronta) = $\sum_{i=0}^{5}i\cdot p_{i}$

Jj · 17. 01. 2014 09:16

↑ Letmery.Ondarex:

Podívám se na to, vzhledem k tomu, že jsem se s teorií obsluhy od školy prakticky nesetkal,
tak si to nechám projít hlavou.

Jj · 17. 01. 2014 14:03

↑ Jj:

Ano, uvažujete správně, jen upřesnit:
střední hodnota délky fronty $\sum_{i=1}^{2}i\cdot p_{3+i}=1\cdot p_4 + 2\cdot p_5$
-"- obsluha + fronta $\sum_{i=1}^{5}i\cdot p_{i}$

Možná ještě
stř. hodn.počtu obsaz.linek $\sum_{i=1}^{3}i\cdot p_{i}+3\sum_{i=4}^{5}p_i$

Pro zajímavost:
střed. hodnota počtu obsazených linek + střed. hodnota fronty $_{\not =}$ střední hodnota počtu v systému
(ale je to "normální").

Ještě poznámka:
Tyto charakteristiky nejsou závislé na frontovém režimu (FIFO a jíné a různé). Takže v úloze
je to zadáno nějak navíc.
Frontový režim je podstatný při sledování doby zákazníka v systému atp. Ale to už vede
k zamotaným vztahům, hlavně u M/M/n.

Letmery.Ondarex · 17. 01. 2014 15:19

↑ Jj:

Děkuji, chápu (jen ta střední hodnota počtu obsazených linek mi není uplně jasná, ale zkusím se nad tím ještě zamyslet).

Chtěl bych se ještě zeptat, jak by se určilo zatížení toho prvního modelu (délka fronty = 1)?
Nejsem si jistý, které řešení je správné.

Zda tohle:

$\varrho = 0\cdot p_{0}+\frac{1}{3}\cdot p_{1}+\frac{1}{2}\cdot p_{2}+1\cdot p_{3}+1\cdot p_{4}$

Nebo tohle:

$\varrho = 0\cdot p_{0}+\frac{1}{3}\cdot p_{1}+\frac{2}{3}\cdot p_{2}+1\cdot p_{3}+1\cdot p_{4}$

Jj · 17. 01. 2014 17:59 — Editoval Jj (17. 01. 2014 18:00)

↑ Letmery.Ondarex:

Pojem zatížení modelu už mi vypadl - na netu jsem našel, že by to měl být průměrný počet
obsazených linek dělený počtem linek. Pokud to tak je, tak by platil ten druhý vztah:

$=\frac{1}{3}$\sum_{i=1}^{3}i\cdot p_{i}+3\sum_{i=4}^{4}p_i$=\frac{1}{3}\cdot p_{1}+\frac{2}{3}\cdot p_{2}+\frac{3}{3}\cdot p_{3}+\frac{3}{3}\cdot p_{4}=$
$\frac{1}{3}\cdot p_{1}+\frac{2}{3}\cdot p_{2}+1\cdot p_{3}+1\cdot p_{4}$

Letmery.Ondarex · 17. 01. 2014 18:15

↑ Jj:

Přiznám se, že nechápu, proč je ve vzorečku ta "druhá suma" $3\sum_{i=4}^{4}p_{i}$ .
První suma řeší ty tři stavy, co symbolizují obsluhu, ale ta druhá nevím..

Jj · 17. 01. 2014 19:08 — Editoval Jj (17. 01. 2014 19:33)

↑ Letmery.Ondarex:

Druhá suma respektuje to, že i ve stavu 4 jsou tři linky plně obsazené. Jinak by byl započítán
provoz linek jen max. do stavu 3 a provoz linek během stavu 4 by započítán nebyl.

Letmery.Ondarex

↑ Jj:

Už chápu :-)

Zeptal bych se ještě na jeden příklad obdobného charakteru (jde mi spíš o kontrolu řešení).

Systém má ze spolehlivostních důvodů 2 identické uzly. Pokud alespoň jeden uzel funguje, je systém schopný provozu. K poruše uzlu dojde jednou za tisíc hodin, oprava trvá v průměru 2 hodiny, příslušná pravděpodobnostní rozdělení doby do poruchy a doby opravy považujeme za exponenciální.

a) Nakreslete graf stavů a přechodů markovského spolehlivostního modelu uvažovaného systému pro případ, kdy při vícenásobné poruše se opravují všechny porouchané uzly najednou.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/91397_ok1.jpg

stav 0 = oba uzly bez poruchy
stav 1 = jeden uzel porouchaný
stav 2 = oba uzly porouchaný (absorpční stav) = porucha celku

b) Jako a), ale při vícenásobné poruše se opravují porouchané uzly postupně.

stav 0 = oba uzly bez poruchy
stav 1 = jeden uzel porouchaný
stav 2 = oba uzly porouchaný (absorpční stav) = porucha celku

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2014 16:26

Teorie front - Markovův model

#2 15. 01. 2014 19:40

Re: Teorie front - Markovův model

#3 15. 01. 2014 21:32

Re: Teorie front - Markovův model

#4 16. 01. 2014 10:27

Re: Teorie front - Markovův model

#5 16. 01. 2014 18:29

Re: Teorie front - Markovův model

#6 16. 01. 2014 21:51 — Editoval Jj (16. 01. 2014 21:54)

Re: Teorie front - Markovův model

#7 17. 01. 2014 02:06

Re: Teorie front - Markovův model

#8 17. 01. 2014 09:16

Re: Teorie front - Markovův model

#9 17. 01. 2014 14:03

Re: Teorie front - Markovův model

#10 17. 01. 2014 15:19

Re: Teorie front - Markovův model

#11 17. 01. 2014 17:59 — Editoval Jj (17. 01. 2014 18:00)

Re: Teorie front - Markovův model

#12 17. 01. 2014 18:15

Re: Teorie front - Markovův model

#13 17. 01. 2014 19:08 — Editoval Jj (17. 01. 2014 19:33)

Re: Teorie front - Markovův model

#14 17. 01. 2014 21:49 — Editoval Letmery.Ondarex (17. 01. 2014 21:50)

Re: Teorie front - Markovův model

Zápatí