Matematické Fórum

harryharry

dobrý den,

mám jen "jednoduchý" dotaz, mohu si upravit vzorec "sin^2 + cos^2 = 1" na "sin^1 + cos^1 = 1"? nebo musí být jednička na konci záporná?

nevíte ještě jak si jednoduše vyjádřit sinus/cosinus jen pomocí tg/cotg?

předem děkuji za odpověď

Chrpa · 23. 02. 2009 18:18 — Editoval Chrpa (23. 02. 2009 18:19)

↑ harryharry:
Platí tento vztah:
$\sin^2x+\cos^2x=1\,\ne\,\sin x+\cos x$
$\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$
$\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{tan x}$
Této rovnici $\sin^2x+\cos^2x=1$ se říká goniometrická jednička

harryharry

Ano, to vše vím (nicméňě děkuji), akorát mě zajímalo, jestli existuje verze gon. jedničky bez odmocnin, ta s odmocninami se často použít nedá v rovnicích. (cos/sin=cotg - ano, ale zajímalo by mě, jak se dá vyjádřit sin pokud máte jen tg a cotg - jde to s vzorcem "sin^2*x=1/(1+ cotg^2*x) - ten je ale dost těžkopádný)

O.o · 23. 02. 2009 19:01

↑ harryharry:

Já bych zas naopak řekl, že zrovna ta vaše jednička v gon. se využívá docela často .).

Máš nějaký příklad, kde bys ilustroval co přesně myslíš? Pokud si na wikipedii projdeš goniometrické funkce až do konce, tak tam najdeš relativně obsáhlý výčet všemožných vzorců pro gon. funkce, věřím, že si s nimi dokážeš dostatečně vyhrát ;)

harryharry · 23. 02. 2009 19:09

no jo, používá se často, ale jsou příklady kde ji použít nelze, pokud by to šlo tou mou variantou např. příklad "cosx - 1 = sin^2 x"

ok, na tu wiki se pořádně podívám, přejel jsem jí jen letmo

O.o · 23. 02. 2009 19:20 — Editoval O.o (23. 02. 2009 19:23)

↑ harryharry:

$\cos(x)-1=\sin^2(x) \nl pozn.: \nl \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \ \Rightarrow \ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \nl \cos(x)-1=1 - \cos^2(x) \nl \cos^2(x) + \cos(x)-2=0 \nl substituce: \ \cos(x) = a \nl a^2+a-2=0 \nl (a-1)(a+2)=0 \nl a_1 = 1; \ a_2=-2 \nl zpet: \cos(x) = 1 \nl \cos(x) =-2 \nl ...$

Například něco takového?

harryharry · 23. 02. 2009 19:41

takže nic jako sinx + cosx = 1 použít nejde? Bez mocniny? Jako to jde např u tg=sin/cos tg^2=(sin^2)/(cos^2)?

Chrpa · 23. 02. 2009 19:45

↑ harryharry:
Ne, to tedy opravdu použít nejde.

harryharry · 23. 02. 2009 20:01

škoda, vše by bylo jednodušší :-) děkuji za odpovědi

O.o · 23. 02. 2009 20:03 — Editoval O.o (23. 02. 2009 20:04)

↑ harryharry:

U té tangety umocníš celou rovnici na druhou, všimni si např. u jednoduché rovnice, že se toho moc nezmění: $x=10 \ \rightarrow \ x^2=10^2 \ \Rightarrow \ x=\pm \sqrt{10^2}$ , po zkoušce vyjde zpět x=10, jaké operace bys chtěl uplatňovat u $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ , abys se zbavil mocnin a dostal tvar, který tu rpezentuješ?

PS: Ten můj příklad asi nebyl zrovna nejlepší, ale přišlo mi, že se na tom ukáže umocnění jednodušše -)

harryharry · 23. 02. 2009 20:15

myslel jsem, že pokud celou rovnici odmocním, nic se s ní v podstatě nestane, jenže odmocnina z 1 může být stejně tak -1 jako 1, to bude asi hlavní kámen úrazu, je to tak?

ještě tu mám jednu menší drobnost (proto jsem chtěl vysvětlit to odvození sin za použítí tg a cotg)

"vypočítejte zbylé gon. fce, jestliže cotg = -8/15 - tzn tg = -15/8", dále je tu poznámka (kterou nemohu pochopit) "Vzhledem k tomu, že je v bodě x cotg definováno, je výraz sin^2*x různý od nuly. Vydělíme jím obě strany vzorce sin^2*x + cos^2*x = 1 ; dostaneme : sin^2*x = 1 / (1+cotg^2*x)" - prosím, nemohli by jste mi to vysvětlit? relativně to chápu, až na to, kde se vezme cotg, bohužel moje učebnice je spíše o počítání, než o teorii

*Jak píšete ty matem. vzorce? Pomocí toho "TeX"?

O.o · 23. 02. 2009 20:34 — Editoval O.o (23. 02. 2009 20:45)

↑ harryharry:

$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$

Rovnice, pokud aplikuji druhou mocninu, tak ji musím aplikovat na obě strany rovnice a dále se řídit pravidly, která znám, tzn:

$(\cos^2(x)+\sin^2(x))^2=1^2$

Z toho je patrný vzorec: $(a+b)^2=...$

Aplikuji-li odmocninu, respk. mocninu s exponentem 1/2, pak musím odmocnin obě strany rovnice bezpodmíněčně, tzn:

$\sqrt{\cos^2(x)+\sin^2(x)}=\sqrt{1}$

To se rozhodně nerovná $\sqrt{\cos^2(x)}+\sqrt{\sin^2(x)}=\sqrt{1}$ ! ! ! Ekvivalentním zápisem k původnímu umocnění je: $(\cos^2(x)+\sin^2(x))^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1}$

Ke goniometrickým funkcím bych doporučil, abys si prošel i práci s mocninami ;)

EDIT:

Pozn. 1)

$\sqrt{1}=\pm1$ - tohle ve škole snad nikdy neříkej při zkoušení a už vůbec nepiš do testu, znovu píši, že to neplatí. Správně $\sqrt{1}=1$ , pokud bys se chtěl dostat na +/- 1, pak to bude spíše z $x^2=1 \ \Rightarrow \ x=\pm\sqrt{1}$ , dáel provedeš zkoušku, pro jistotu (možná ej to dokonce neekvivalentní úprava a zkouška by byla tedy nutná ;)).

Pozn. 2)

Texové zápisy, zobraz si můj příspěvek jako citaci, plus omrkni sekci Ostatní - Latexové pískoviště. Texový zápis se uzavírá do tagů v hranatých závorkách s textem tex, při psaní zprávy máš tlačítko TeX (vyskočí ti rovnou tagy a ty píšeš jen mezi ně), které zkus použít a určitě porozumíš té zplácanině, co jsem vytvořil -).

plisna · 24. 02. 2009 01:56

↑ harryharry: presne jak spravne konstatoval O.o - bohuzel (a nebo bohu dik?) neplati, ze odmocnina souctu je rovna souctu odmocnin, proto tedy obecne neplati vztah $\sin x + \cos x = 1$

harryharry · 24. 02. 2009 09:41

ok, škoda, bylo by to potom jednodušší... Ale už jsem to pochopil....

neznáte prosím ještě odpověď na můj předešlý dotaz? :

"vypočítejte zbylé gon. fce, jestliže cotg = -8/15 - tzn tg = -15/8", dále je tu poznámka (kterou nemohu pochopit) "Vzhledem k tomu, že je v bodě x cotg definováno, je výraz sin^2*x různý od nuly. Vydělíme jím obě strany vzorce sin^2*x + cos^2*x = 1 ; dostaneme : sin^2*x = 1 / (1+cotg^2*x)" - prosím, nemohli by jste mi to vysvětlit? relativně to chápu, až na to, kde se vezme cotg, bohužel moje učebnice je spíše o počítání, než o teorii

musixx · 24. 02. 2009 09:43

Souhlasim s ↑ harryharry:, ze docela casto je treba resit rovnici $a\cdot\cos x+b\cdot\sin x=c$ a ze se clovek pta, jde-li to udelat i jinak, nez jak se to na SS uci, tedy jinak nez neekvivalentni upravou umocnenim na druhou (to s sebou totiz nutne nese potrebu zkousky kvuli one neekvivalentni uprave). Odpoved je, ze to jinak udelat lze. Jedno mozne reseni jsem jiz drive ukazal zde.

harryharry

je nějaká pomůcka pro zjištění velikosti např. pro : $cos(pi/12)=cos15=1/2*sqrt3$ ? nebo musím umět tabulku nazpaměť?

musixx · 24. 02. 2009 16:50 — Editoval musixx (24. 02. 2009 16:50)

↑ harryharry: Zakladni uhly jsou 0, 30, 45, 60 a 90 stupnu. 15 mezi ne teda vetsinou nepatri...

Pokud jde o pomucku, tezko rict, jestli by nebyla tezkopadnejsi nez zapamatovat si ona cisla $0,\ \frac12,\ \frac{\sqrt2}2,\ \frac{\sqrt3}2,\ 1$ v tomto poradi a pak uz jen vyuzivat toho, ze sinus je rostouci, zatimco cosinus klesajici.

Chces-li vyjadrit cosinus 15 stupnu, nezbude ti nez treba rozpulit cosinus 30 stupnu, pripadne pouzit vzorce pro polovicni (dvojnasobny) argument.

harryharry · 24. 02. 2009 17:05

napsal by jste mi prosím radši přesný postup? pokud například dostanu zadáno $pi/24$ , jak zjistím hodnotu?

O.o · 24. 02. 2009 18:42 — Editoval O.o (24. 02. 2009 19:19)

↑ musixx:

Pokud ti jde o pomůcku, tak mne pomohlo až toto (nejsem schopný se ty úhly naučit na zpaměť):

$\frac{\sqrt{0}}{2}; \ \frac{\sqrt{1}}{2}; \ \frac{\sqrt{2}}{2}; \ \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{\sqrt{4}}{2}$

Úhly si holt zapamatuj, řekl bych, že v tomhle směru je to asi nejjednodušší. Jen vysvětlení k "pomůcce", odmocnina je v čitateli všude, číslad pod odmocninou jdou jednoduše zasebou (0; 1; 2; 3; 4), jmenovatel je pokaždé číslo dva.

U cosinu je to obdobné, jen to nejde zleva doprava, ale zprava do leva (tedy v pravo to začíná nulou a směrem doleva to pokračuje 1; 2; 3; 4).

Snad je to pochopitelné a snad ti to pomůže.

PS: Na tangentu a cotangentu mne teď nic nenapadá..

Chrpa · 24. 02. 2009 18:52

↑ O.o:
Na tangentu stačí toto:
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ pak to stačí dát do poměru.
Na kotangens obdobně.

harryharry · 25. 02. 2009 11:55

Ano, to vše chápu... jen nevím jak určit přesnou hodnotu zadaného čísla, např určete cos 15°

harryharry · 25. 02. 2009 12:16

co dostanu pokud použiju na výraz $1-cos2x$ vzorec pro dvojnásobný argument? $1-(cos^2x-sin^2x)]$ ? není to nesmysl?

harryharry · 25. 02. 2009 12:25

už jsem na to přišel... výsledek výrazu je $2sin^2x$ , přehlédl jsem znaménko :-)

Cheop · 25. 02. 2009 12:46

↑ harryharry:
Pro výpočet použij vzorec pro poloviční argument tj:
$|\cos\,\frac x2|=\sqrt{\frac{1+\cos\,x}{2}}$

Za cos x dosadíš tabulkovou hodnotu cos 30 stupňů tj $\cos\,30^\circ=\frac{\sqrt 3}{2}$ a výraz upravíš.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

harryharry · 25. 02. 2009 13:33

děkuji všem za odpověďi, pomohly mi....

Matematické Fórum

#1 23. 02. 2009 18:07 — Editoval harryharry (23. 02. 2009 18:13)

goniometrie - základní rovnice

#2 23. 02. 2009 18:18 — Editoval Chrpa (23. 02. 2009 18:19)

Re: goniometrie - základní rovnice

#3 23. 02. 2009 18:22 — Editoval harryharry (23. 02. 2009 18:23)

Re: goniometrie - základní rovnice

#4 23. 02. 2009 19:01

Re: goniometrie - základní rovnice

#5 23. 02. 2009 19:09

Re: goniometrie - základní rovnice

#6 23. 02. 2009 19:20 — Editoval O.o (23. 02. 2009 19:23)

Re: goniometrie - základní rovnice

#7 23. 02. 2009 19:41

Re: goniometrie - základní rovnice

#8 23. 02. 2009 19:45

Re: goniometrie - základní rovnice

#9 23. 02. 2009 20:01

Re: goniometrie - základní rovnice

#10 23. 02. 2009 20:03 — Editoval O.o (23. 02. 2009 20:04)

Re: goniometrie - základní rovnice

#11 23. 02. 2009 20:15

Re: goniometrie - základní rovnice

#12 23. 02. 2009 20:34 — Editoval O.o (23. 02. 2009 20:45)

Re: goniometrie - základní rovnice

#13 24. 02. 2009 01:56

Re: goniometrie - základní rovnice

#14 24. 02. 2009 09:41

Re: goniometrie - základní rovnice

#15 24. 02. 2009 09:43

Re: goniometrie - základní rovnice

#16 24. 02. 2009 16:39 — Editoval harryharry (24. 02. 2009 16:40)

Re: goniometrie - základní rovnice

#17 24. 02. 2009 16:50 — Editoval musixx (24. 02. 2009 16:50)

Re: goniometrie - základní rovnice

#18 24. 02. 2009 17:05

Re: goniometrie - základní rovnice

#19 24. 02. 2009 18:42 — Editoval O.o (24. 02. 2009 19:19)

Re: goniometrie - základní rovnice

#20 24. 02. 2009 18:52

Re: goniometrie - základní rovnice

#21 25. 02. 2009 11:55

Re: goniometrie - základní rovnice

#22 25. 02. 2009 12:16

Re: goniometrie - základní rovnice

#23 25. 02. 2009 12:25

Re: goniometrie - základní rovnice

#24 25. 02. 2009 12:46

Re: goniometrie - základní rovnice

#25 25. 02. 2009 13:33

Re: goniometrie - základní rovnice

Zápatí