Matematické Fórum

Astrid · 20. 01. 2014 22:45

Mohl by mi někdo vysvětlit, co je na výpočtu špatně? U jiných takovýchto mocnin je po vytknutí automaticky x> (nebo rovno nebo nesmí) 0, ale zde to neplatí. Proč je definiční obor od minus nekonečna do nuly? Včera se mi to někdo pokoušel vysvětlil u jiného příkladu, ale neuspěl. Díky
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/54210_def.JPG

:D · 20. 01. 2014 22:58

Funkcia logaritmus je definovaná len pre kladné čísla, teda všetky čísla, ktoré do tej funkcie vložíme musia byť kladné.

My tam vkladáme čísla typu $x^2-x$ , a teda musia byť kladné $x^2-x>0$ .

Vynímanie pred zátvorku je jasné: $x(x-1)>0$

Máme tam teda súčin dvoch čísel x a (x-1), chcem aby ich súčin bol kladný. Ako na to?

Súčin kladných čísel je kladný, súčin záporných čísel je kladný, ak je jedno kladné a druhé záporné - súčin je záporný a to nechceme. Ak je jedno z čísel nulové, súčin je nulový a to nechcem, lebo chceme len kladný súčin.

Tak zapíšme prípad, keď sú obe čísla kladné:
x>0 a x-1>0
x>0 a x>1, toto musí platiť súčasne, lebo len vtedy bude ten súčin >0, tzn. x>1 ---- prvá podmienka

Teraz prípad, obe sú záporné:
x<0 a x-1<0
x<0 a x<1, teda druhá podmienka x<0

Ak vieš kresliť kvadratické funkcie celé sa to omnoho zjednoduší, vieš?

Astrid · 20. 01. 2014 23:23

Takže tohle platí jen i logaritmu? I u přirozeného? Jak by to bylo, kdyby ten výraz místo log byl pod odmocninou? Nebo ve jmenovateli zlomku bez log, jen ta závorka?
Kreslit je bohužel neumím.

:D · 21. 01. 2014 00:04

Keď určuješ definičný obor, musíš vedieť, kde sú dané funkcie definované.
Párna odmocnina - druhá, štvrtá, ... - tá je definovaná pre čísla nezáporné. $\sqrt x =>x\ge 0$
Napr. $\sqrt {x^2-x} =>x^2-x\ge 0$ , vždy, čo je pod párnou odmocninou, musí byť nezáporné
Nepárne odmocniny sú definované pre všetky x, tam nevzniká problém.
Sínus a kosínus sú definované tiež pre všetky x.
Logaritmus, akýkoľvek, $x> 0$ , len pre kladné čísla.
Keď máš zlomok, v menovateli nemôže byť nula, teda, keď je napr $\frac{1}{x}$ , tak menovateľ musí byť rôzny od nuly, tzn. jediná podmienka, kt. to musí spĺňať (ten definičný obor) je $x \ne 0$ .

Príklad:

$\frac{log(\sqrt {x-1})}{x^2-x}$ ,
Musia naraz platiť tieto podmienky:
$\sqrt{x-1} >0$ Podmienka pre logaritmus
$x-1\ge 0$ Podmienka pre párnu odmocninu
$x^2-x \ne0$ Podmienka zlomku

Teraz to treba ešte doriešiť.

Prvá podmienka platí vždy, lebo odmocniny sú len kladné čísla, teda to nám definičný obor neobmedzuje.
Z druhej podmienky máme $x\ge 1$ , prvé obmedzenie.
Tretia: $x(x-1)\ne0$ , nule sa to rovná, ak x=0 alebo ak x=1, teda 0 ani 1 nesmú byť v definičnom obore.

Teraz to dáme dokopy:
$D(f)=\{x\ge 1\}/\{0,1\}=\{x>1\}$

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2014 22:45

Definiční obor

#2 20. 01. 2014 22:58

Re: Definiční obor

#3 20. 01. 2014 23:23

Re: Definiční obor

#4 21. 01. 2014 00:04

Re: Definiční obor

Zápatí