Matematické Fórum

rukay · 21. 01. 2014 14:56

Nazdar, potřeboval bych pomoci s příkladem ke zkoušce. Měl jsem nějaké vlastní pokusy, ale nedokážu s tím hnout do finále.

"Je dána elipsa $2x^{2}+y^{2}=8$ . Uvažujeme množinu M všech obdélníků, jejichž všechny vrcholy leží na dané elipse (strany každého obdélníku jsou rovnoběžné s osami souřadnic).
Vyjádřete obsah obdélníku z M jako funkci S proměnné x, jestliže 2x je délka jedné jeho strany rovnoběžné s osou x."

Můj pokus byl asi následující (zkoušel jsem to napsat, ale je to poněkud moc abstraktní, takže přikládám obrázek)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-01/12423_1546212_3928795476511_1056124007_n%2Bcopy.jpg

Problém je v tom, že z těch tří rovnic už nedokážu (podle svého plánu) vydlabat y, které jsem pak chtěl dosadit do S=2x*2y a mít tak výsledek o jedné neznámé.

Budu vděčný za jakékoliv nápady, pokud možno s co nejkonkrétnějším řešením. Děkuji.

Rumburak · 21. 01. 2014 16:17

↑ rukay:

Ahoj.

Nápověda:

Jestliže strana takového obdélníka rovnoběžná s osou x má délku $2x$ , potom jeho vrcholy budou které body ?
(uvědom si, že leží na elipse).

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 21. 01. 2014 16:48

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Dalsi pristup je pouzitie afinity kruznica-elipsa ( tu sa o tom uz vela pisalo).

rukay · 21. 01. 2014 17:14 — Editoval rukay (21. 01. 2014 17:16)

↑ Rumburak:

Takže myslí počítat to jako vektorový součin? A za z-tovou souřadnici dosadit 0...

tzn. $A=[-x, -\sqrt{8-2x^2}], B=[x, -\sqrt{8-2x^2}], C=[x, \sqrt{8-2x^2}] , D=[-x, \sqrt{8-2x^2}]$

$B-A=u$
$D-A=v$

C jsem si nevybral záměrně, protože to bych dostal jen obsah trojúhelníka resp polovinu toho obdélníka, není liž pravda...?

$u=(x-(-x); -\sqrt{8-2x^2}-(-\sqrt{8-2x^2})) = (2x; 0)$
$v=(-x-(-x); \sqrt{8-2x^2}-(-\sqrt{8-2x^2})) = (0; 2\sqrt{8-2x^2})$

u x v =
$[(0.0-2\sqrt{8-2x^2}.0); - (2x.0-0.0); (2x.2\sqrt{8-2x^2} - 0.0)]=$
$= (0; 0; 2x.2\sqrt{8-2x^2})$
->
$\sqrt{(2x.2\sqrt{8-2x^2})^{2}} = 4.\sqrt{x^{2}(8-2x^2)}$

Takže

$S = 4.\sqrt{x^{2}(8-2x^2)}$
Což mi přijde dále nezjednodušitelné...

Takto?

Rumburak · 21. 01. 2014 17:23

↑ rukay:

Ale proč tak složitě?

Obasah obdélníka o stranách délek $a, b$ je $ab$ , náš obdélník má strany rovnoběžné se souřadnicovými osami,
takže můžeme klást $a=2x, b = 2\sqrt{8-2x^2}$ atd.

rukay · 21. 01. 2014 17:26

↑ Rumburak:

Čímž dojdeš ke stejnému výsledku, jen máš pravdu, že vzít na na komára kanón bylo poněkud zbytečné. Díky moc!

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2014 14:56

Množina obdélníků dána rovnicí elipsy > obsah obdélníka

#2 21. 01. 2014 16:17

Re: Množina obdélníků dána rovnicí elipsy > obsah obdélníka

#3 21. 01. 2014 16:48

Re: Množina obdélníků dána rovnicí elipsy > obsah obdélníka

#4 21. 01. 2014 17:14 — Editoval rukay (21. 01. 2014 17:16)

Re: Množina obdélníků dána rovnicí elipsy > obsah obdélníka

#5 21. 01. 2014 17:23

Re: Množina obdélníků dána rovnicí elipsy > obsah obdélníka

#6 21. 01. 2014 17:26

Re: Množina obdélníků dána rovnicí elipsy > obsah obdélníka

Zápatí