Matematické Fórum

Lucky11 · 27. 02. 2009 12:47

Ahojky potřebovala bych pomoct vysvetlit jak na tento typ příkladů:

Určete poslední cifru čísla 6^ (7^8).

Budu ráda za každou radu.:)

Lishaak · 27. 02. 2009 13:11

Staci ukazat, ze vsechny mocniny sestky konci sestkou.

musixx · 27. 02. 2009 15:18

A pro obecný případ se na číslo podívat modulo 10 a pro "sražení exponentu" použít Eulerovu, resp. malou Fermatovu větu.

Lucky11 · 01. 03. 2009 12:59

ahojda no ja to pořád nějak nechápu jak na to.....ted mam treba tenhle konkretni priklad:vypočítejte posledni dvojcisli cisla 23^ (24^25).Nevysvětlili byste mi to prosím někdo třeba konkrétně na tomhle příkladě.Děkujuuu

musixx · 03. 03. 2009 10:57 — Editoval musixx (03. 03. 2009 11:05)

↑ Lucky11: Jde vlastne o to najit $23^{24^{25}}\equiv x\ ({\rm mod}\ 100)$ , kde x bude "rozumne cislo".

Eulerova funkce $\varphi$ rika, ze pro nesoudelna $a$ a $n$ plati $a^{\varphi(n)}\equiv1\ ({\rm mod}\ n)$ .

Tedy proto staci exponent $24^{25}$ hledat modulo $\varphi(100)=40$ . Stejnou vec ted aplikovat nejde, protoze 24 a $\varphi(40)=16$ nejsou nesoudelne. Mame ale stesti, ze $16^2\equiv16\ ({\rm mod}\ 40)$ .

Mame tedy (ponekud nestandardne zapsano, ale snad jasne - vzdy exponenty delin na pul, abych si vystacil s druhymi mocninami cisel do 100, coz je hrave zvladnutelne na papire):

mod 40: $24^{25}\equiv24\cdot(24^2)^{12}\equiv24\cdot(16)^{12}\equiv24\cdot(16^2)^6\equiv\ \cdots\ \equiv24\cdot16\equiv24$

mod 100: $23^{24^{25}}\equiv23^{24}\equiv(23^2)^{12}\equiv29^{12}\equiv(29^2)^6\equiv41^6\equiv(41^2)^3\equiv81^3\equiv81\cdot81^2\equiv81\cdot61\equiv41$ .

Tedy posledni dve cifry jsou 41.