Matematické Fórum

Ospli · 27. 01. 2014 20:26

Ahoj,
řeším příklad "Najděte co nejjednodušší vyjádření $det(vv^{T})$ , kde $v \in R^{n}$

Vzorové řešení říká, že pro n=1 a $v = \{x\}$ je $det = x^{2}$ a pro n>1 je determinant rovný 0.
Já si ale myslím, že součin $vv^{T}$ je matice řádu 1x1 pro libovolné n, tudíž determinant je roven standardnímu skalárnímu součinu vv.

Je špatně vzorové řešení, nebo jsem někde udělal chybu? Díky

Bati · 27. 01. 2014 21:31 — Editoval Bati (27. 01. 2014 21:33)

Ahoj,
obvyklá konvence je, že n složkový vektor se chápe jako matice n x 1, tedy jako sloupec. To znamená, že když napíšu $vv^T$ , tak rozměry jsou $(n\times 1)(1\times n)=n\times n$ , tedy výsledkem bude opravdu čtvercová matice řádu n. Oproti tomu $v^Tv$ je matice řádu 1, neboli skalár - to je totiž obyčejný skalární součin, se kterým sis to asi spletl.

To že ten determinant je nulový (až na ten triviální případ) je celkem jasné, neboť matice tvaru $vv^T$ mají hodnost 1. To proto, že když vezmu libovolný vektor u, který je kolmý na v, tak mám: $(vv^T)(u)=v(v^Tu)=v0=0$ , tedy libovolný vektor kolmý na v je už v jádru zobrazení $vv^T$ . Proto determinant je nula (a hodnost matice je 1). V triviálním případě nelze nalézt kolmý vektor.

Ospli · 28. 01. 2014 00:26

↑ Bati: Nojo, děkuju. :) Já v tom vektoru viděl řádek.

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2014 20:26

Determinant součinu vektorů

#2 27. 01. 2014 21:31 — Editoval Bati (27. 01. 2014 21:33)

Re: Determinant součinu vektorů

#3 28. 01. 2014 00:26

Re: Determinant součinu vektorů

Zápatí