Matematické Fórum

Hezký večer,
včera jsem se tu potácel s příkladem a ↑↑ Brano: mi ho sice pomohl řešit, bohužel použil metodu, kterou zatím neznám a jelikož vím, že řešení má být ve tvaru b(n) = x*2^n+y*n+z

Chtěl bych vás požádat o radu jak tento typ příkladů počítat pomocí tohoto způsobu (respektive objasnit mi, co dělám špatně a velice by mi pomohl správný postup, na písemce to bude automaticky generovat počítač, tak se nebojte, že by jste mi napověděli, jen potřebuji pochopit postup, který není na našem studentském fóru dost jasně vysvětlený.

V následujícím zadání je popsán (formální) algoritmus pracující s jedním celočíselným vstupem a jedním výstupem.

    Vstup celočíselného parametru n .

    Do a  přiřadíme hodnotu  1 .

    Do b  přiřadíme hodnotu  1 .

    Pro všechna celá  i = 1 ... n   provedeme tyto (odsazené) kroky:

        Do a  přiřadíme hodnotu  2·a+1 .

        Do b  přiřadíme hodnotu  2·a+b-1 .


    Výstup (celočíselné proměnné)  b .


Vaším úkolem je zjistit a doplnit (ručně, bez počítače) tři chybící celočíselné koeficienty v následující formuli tak, aby platilo:

    Pro každé celé  n>0  na vstupu je výsledná hodnota  b  rovna
b(n)=x*2^n+y*n+z

Pro úplnost uvádím ještě symbolický formální zápis téhož algoritmu:

  input  n;
  a ← 1;
  b ← 1;
  for  i ← 1 to n  do
    a ← 2·a+1;
    b ← 2·a+b-1;
  done
  output  b;

řešení má vyjít:
b(n)=8*2^n-3*n-7

ale počítám to:
i   0   1   2   3   
a  1   3   7   15
b  1   6  19  48  <- <- <-

a tedy:
6  = x*2^n+y*n+z
19= x*2^n+y*n+z
48= x*2^n+y*n+z

tj. pro n = 1...n:

6  = 1*2^n+1*n+1
19= 4*2^n+2*n+1
48= 9*2^n+3*n+1

následně jsem na tuto matici aplikoval Cramerovo pravidlo:
1 1 1
4 2 1
9 3 1

následně mi tímto postupem vyšlo:
-16/-2 = 8;
22/-2 = -11;
-18/-2 = 9

a to bylo špatně, proto se ptám, jestli by to nešlo řešit tímto mým způsobemm a omlouvám se za nejasnosti.