Matematické Fórum

Mikkël · 29. 01. 2014 10:02

Mám soustavu 2 diferenciálních rovnic:
$y' + 2y - 2z = x$
$z''-3y+z'=-1$
Po úpravě my vyšla nehomogenní rovnice:
$y'''+3y''-4y'=-1$
kde homogenní charakteristická rovnice vyšla:
$\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}-4\lambda =0$
s kořeny $\lambda _{1} = 0, \lambda _{2} = 1, \lambda _{3} = -4$
a tedy obecné řešení homogenní rovnice nabývá tvaru:
$y_{h} = c_{1} + c_{2}e^{x}+c_{3}e^{-4x}$

Otázka zní, jak pokračovat? Naprosto vůbec nechápu princip partikulárního řešení, mohl by mi to někdo, prosím, do detailu vysvětlit?
Děkuji za odpovědi

Rumburak

↑ Mikkël:

Nejprve poznámka: V rovnici $y'''+3y''-4y'=-1$ se dá substituovat $u=y'$ a tím snížit řád rovnice na 2.
(Hledané $y$ pak bude primitivní funkcí k nalezenému $u$ ).

Vztah mezi obecným řešením a partikulárním je dán linearitou diferenciálního operátoru $L$ (zde $L(u) := u''+3u'-4u$ ).
Ze vztahu

$L(p + w) = L(p) + L(w)$

plyne, že známe-li jedno řešení $p$ rovnice $L(y) = f$ (tzv. její partikulární řešení), pak její obecné řešení můžeme vyjádřit
ve tvaru $y=p+w$ , kde $w$ probíhá množinu všech řešení jednodušší rovnice $L(w) = 0$ (což je lineární prostor
představující jádro lin. operátoru $L$ ) .
Je to tedy analogická situace jako u soustav lineárních rovnic tvaru $Ax = b$ , kde $A$ je daná matice , $b$ daný vektor a
$x$ neznámý vektor (za předpokladu, že to sedí "rozměrově").

To partikulární řešení se hledá metodou variace konstant. Kdysi jsem to tu pro rovnici 2. řádu podrobně řešil - až to najdu,
napíši odkaz.