Matematické Fórum

fransiz · 29. 01. 2014 19:39

Rovnica log pri základe 4 (x+12) log pri základe x 2=1 má v obore reálnych čísel jediný koren x0. Ktoré z nasledujúcich tvrdení je nepravdivé?

a má vyjsť že x0 je dvojciferné číslo, to ako riešiť?

gadgetka · 29. 01. 2014 20:00

Příklad vypadá takto?
$\log_4{(x+12)}\log_x{2}=1$

fransiz · 29. 01. 2014 20:04

↑ gadgetka:

áno presne tak

gadgetka

$\log_x{2^{\log_4{(x+12)}}}=1\\ \log_x{2^{\frac 12\log_2{(x+12)}}}=1\\ x=2^{\frac 12\log_2{(x+12)}}\\ x=\sqrt{x+12}\\ x^2-x-12=0\\ x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}\\ x=4$

Řešení je založené čistě na pravidlech počítání s logaritmy. Druhý kořen nevyhovuje podmínkám, které si vyřeš už sama.

fransiz · 29. 01. 2014 21:49

↑ gadgetka:

ten príklad je nejak prekrútený môžeš mi vysvetliť aspon zo 3 kroky lebo nerozumiem

gadgetka · 29. 01. 2014 22:31

1.
co je před logaritmem, je vlastně mocnina argumentu, čili

$\log_4{(x+12)}\log_x{2}=1\equiv \log_x{2^{\log_4{(x+12)}}}=1$

2.
Platí $a^{\log_a{x}}=x$ a v logaritmu, který je exponentem dvojky je v základu čtyřka.... paráda...

3.
$\log_a{x} = \frac{\log_b{x}}{\log_b{a}}$ ... a ze čtyřky v základu je rázem dvojka
$\log_x{2^{\frac 12\log_2{(x+12)}}}=1$

4. Logaritmická funkce je inverzní funkcí funkce exponenciální ... a dostáváme:
$x^1=2^{\frac 12\log_2{(x+12)}}$

5. Co je před logaritmem, je mocnina argumentu:
$x=2^{ \log_2{(x+12)^{\frac 12}}}$

Táák, a teď se vrátíme ke vztahu pod číslem dvě a máme rázem:
$x=(x+12)^{\frac 12}$

A dál už jde jen o vyřešení iracionální rovnice...