Matematické Fórum

Suiroza

Zdravím,
tak tenhle semestr jsem tu snad naposledy. a) mi vyšlo 96,4%, ale s b) mám problém, vůbec nevím jak určím charakteristickou funkci.

Máme šestistěnnou, homogenní hrací kostku. Vykonáme 1000 nezávislých hodů. Každý z nich má pravděpodobnost 1/6 že padne 6.

a) Jaká je pravděpodobnost, že relativní četnost výskytu čísla 6 se liší od 1/6 o 0,025
b) Vypočtěte charakteristickou funkci N.V. rovnající se počtu hodů kdy padla šestka a pomocí ní vypočtěte střední hodnotu a rozptyl této náhodné veličiny.

Jj · 06. 02. 2014 18:01

↑ Suiroza:

Dobrý večer.
Pravděpodobnost ře v n hodech padne x šestek je dána binomickým rozložením pravděpodonosti:
p = 1/6, n = 1000, i - imaginární jednotka

$P(X=x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}$ Pak charakteristická funkce tohoto rozdělení
$\psi(t)=\sum_{x=0}^{n}{n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}e^{itx}=\sum_{x=0}^{n}{n \choose x}(pe^{it})^x(1-p)^{n-x}=(pe^{it}+1-p)^n$

Střední hodnota E(x):
$\psi'(t)_{[t=0]}=inpe^{it}(pe^{it}+1-p)^{n-1}_{[t=0]}=inp \Rightarrow E(x) = np$

Rozptyl D(x):
$\psi''(t)_{[t=0]}=[i^2npe^{it}(pe^{it}+1-p)^{n-1}+i^2n(n-1)p^2e^{2it}(pe^{it}+1-p)^{n-2}]_{[t=0]}=$
$=i^2[np+n(n-1)p^2]=i^2[np+n^2p^2-np^2]\Rightarrow E(x^2) = np+n^2p^2-np^2$
$D(x) = E(x^2)-E(x)^2=np(1-p)$

Suiroza · 06. 02. 2014 18:10

↑ Jj:

Opět Vám musím poděkovat.

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2014 12:42 — Editoval Suiroza (06. 02. 2014 13:09)

Pravděpodobnost - Hrací kostka

#2 06. 02. 2014 18:01

Re: Pravděpodobnost - Hrací kostka

#3 06. 02. 2014 18:10

Re: Pravděpodobnost - Hrací kostka

Zápatí