Matematické Fórum

Prochycz · 09. 02. 2014 12:18

Zdravim,

mám ověřit, jestli funkcionál $\int_{0}^{1}|u-v|dx$ je metrikou na prostor $L^2(0,1)$ . Rád bych se zeptal, jak postupovat. Myslim si, že bych asi měl splnit tyhle podmínky, ale nejsem si jistý, jestli to je zrovna pro ten $L^2$ prostor.

$a) \rho(x,y)=0\nl b) \rho(x,y)=\rho(y,x)\nl c) \rho(x,y)\le\rho(x,y)+\rho(y,z)$

$\rho_p(f,g)=(\int_{0}^{1}|u-v|^\farc{p} dx)^{\frac{1}{p}}$

Takže to musí vyhovat následovně:
$a) (\int_{0}^{1}|u-v|^2 dx)^{\frac{1}{2}}=0\nl b) (\int_{0}^{1}|u-v|^2 dx)^{\frac{1}{2}}=(\int_{0}^{1}|v-u|^2 dx)^{\frac{1}{2}}\nl c) (\int_{0}^{1}|u-z|^2 dx)^{\frac{1}{2}}\le(\int_{0}^{1}|u-v|^2 dx)^{\frac{1}{2}}+(\int_{0}^{1}|v-z|^2 dx)^{\frac{1}{2}}$

Je tento postup správně?

Děkuji