Matematické Fórum

Mirgeee

Dobrý den, úloha zní takto: Nechť a, b, c jsou kořeny polynomu x^3 + px + q. Vypočtěte determinant matice
a b c
b c a
c a b
.
Zkoušel jsem si například napsat soustavu tří rovnic s a, b, c dosazenými za x, vyjádřit z prvních dvou p a q, dosadit do poslední doufaje, že dostanu výraz pro determinant roven nule. Zkoušel jsem si to matici upravit pomocí ekvivalentních úprav... Hledal jsem nějakou souvislost mezi kořeny polynomu a determinantem matice, možná by se dala použít Vandermontova matice...
Jistě tu je možnost vyjádřit si determinant jako další proměnnou a řešit soustavu 4 rovnic, ale učitě existuje i elegantnější přístup...

vanok · 09. 02. 2014 16:14

Ahoj ↑ Mirgeee:,
Jedna moznost je dat do suvisu polynom interpolacie à system, ktory ho uloznuje vyriesit.

Mirgeee · 10. 02. 2014 15:57

Nejsem si jistý, jestli rozumím tomu, co znamená vyřešit polynom interpolace... Polynom interpolace je tady x^3 + px + q ? Vyřešit ho znamená nalézt p a q v závislosti na a, b, c?

vanok · 10. 02. 2014 16:38

Ano, ide o pripad $p(a)=0,p(b)=0, p(c)=0$

Mirgeee · 08. 03. 2014 08:10

↑ vanok:
Ahoj, můžu se zeptat, jdu-li na to správně?

Z toho, že a,b,c musí být kořeny toho polynomu, dostávám podmínku
$\begin{bmatrix} 1 & a & a^3\\ 1 & b & b^3\\ 1 & c & c^3 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} q\\ p\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

což je homogenní rovnice s netriviálním řešením, takže matice té soustavy musí být singulární a její determinant nulový. Ten mi vychází
$b(b-a)(c-b)(a-c)^2$ , což ale ještě neimplikuje nulovost zadané matice... Co mi uniká?

Mirgeee · 08. 03. 2014 09:24

Už to mám :)

Matematické Fórum

#1 09. 02. 2014 12:41 — Editoval Mirgeee (09. 02. 2014 13:22)

Souvislost determinantu matice a kořenů polynomu, Vandermontova matice

#2 09. 02. 2014 16:14

Re: Souvislost determinantu matice a kořenů polynomu, Vandermontova matice

#3 10. 02. 2014 15:57

Re: Souvislost determinantu matice a kořenů polynomu, Vandermontova matice

#4 10. 02. 2014 16:38

Re: Souvislost determinantu matice a kořenů polynomu, Vandermontova matice

#5 08. 03. 2014 08:10

Re: Souvislost determinantu matice a kořenů polynomu, Vandermontova matice

#6 08. 03. 2014 09:24

Re: Souvislost determinantu matice a kořenů polynomu, Vandermontova matice

Zápatí