Matematické Fórum

kvantum.nuly · 15. 02. 2014 11:22

Zdravím všechny,
řeším příklady do fyziky, ale u jednoho příkladu z části kmity jsem se docela zasekl. Řekl bych, že problém bude možná spíše matematický.
Dadání příkladu:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-02/59617_kmity.PNG
Řekl bych, že základní rovnice bude
Ep=E/2, z toho pak vyjádřím čas(?) a ten dosadím zpět do rovnice pro výchylku a dostanu výsledek.
Možná se pletu.
Všechny zbývající příklady na kmity jsem vyřešil, ale nad tímto sedím už dobré dvě hodiny.
Díky za vše rady.

Jj · 15. 02. 2014 11:49 — Editoval Jj (15. 02. 2014 11:59)

↑ kvantum.nuly:

Dobrý den, možná se taky pletu, ale řekl bych, že základní rovnice by mohla být

$E_p = 1/2 E_{p-max}$ (kdy je Ek = 0)
nebo
$E_p = 1/2 E_{k-max}$ (kdy je Ep = 0)

Pak určit polohu, kdy se Ep = vypočtené Ep a odtud čas, v němž těleso této polohy dosáhne.

Edit: Doplněno:
Případně ještě základní rovnice $E_p = E_k$ , kdy bude Ep rovněž rovna polovině celkové energie.

kvantum.nuly · 15. 02. 2014 12:38

Děkuji za nakopnutí. No s tím časem je to právě problém. Potřeboval bych to trochu rozepsat, protože jak v tom jsou zamíchané ty gon. fce tak jsem v tom trochu ztracený :-(

zdenek1

↑ kvantum.nuly:
Já bych na to šel takto (a budu počítat obecně, číslíčka si pak dosaď):
$x=A\cos (\omega t+\varphi _0)$
$E_p=\frac12kx^2=\frac12kA^2\cos^2 (\omega t+\varphi _0)$
$E_k=\frac12m\dot x^2=\frac12m[-A\omega \sin (\omega t+\varphi _0)]^2=\frac12 \underbrace{m\omega ^2}_{k}A^2\sin ^2(\omega t+\varphi _0)=\frac12kA^2\sin ^2(\omega t+\varphi _0)$
Podle zadání je
$E_p=\frac12E_k$
$\frac12kA^2\cos^2 (\omega t+\varphi _0)=\frac14kA^2\sin ^2(\omega t+\varphi _0)$
$\tan^2(\omega t+\varphi _0)=2$
Počítat z toho čas sice můžeš, ale je to zbytečná práce. Platí
$\tan^2(\omega t+\varphi _0)=\frac{1-\cos ^2(\omega t+\varphi _0)}{\cos^2(\omega t+\varphi _0)}=2 \Rightarrow \cos ^2(\omega t+\varphi _0)=\frac13$

Hledaná výchylka je pak $x=\frac{\sqrt3}3A$

Edit: řeším něco úplně jiného.

kvantum.nuly · 15. 02. 2014 13:22

↑ zdenek1:
Tak toto bych tedy asi opravdu nevymyslel, palec nahoru.
Ale zjistil jsem problém - má to vyjít 3,5 bohužel. Dle tohoto to vychází cca 2,9.
Už jsem z toho na prášky snad...

zdenek1 · 15. 02. 2014 13:37

↑ kvantum.nuly:
Omlouvám se, špatně jsem si přečetl zadání
Celková energie $E_c=\frac12kA^2$
pak
$\frac12kx^2=\frac14kA^2$
$x=\frac A{\sqrt2}$

kvantum.nuly · 15. 02. 2014 15:28

↑ zdenek1:
Děkuji pěkně. Až si připadám jako blbec.
Každopádně díky a hodím vám tam smsku za 20,- ;-)

kvantum.nuly · 15. 02. 2014 16:10

↑ zdenek1:
Možná stupidní dotaz, ale jak dosáhnout výpočtu u bodu b (čas)?
Můj problém je, že v tom hledám vždy něco složitého a pak je to většinou strašně jednoduché.

zdenek1 · 15. 02. 2014 17:17

↑ kvantum.nuly:
Rovnovážnou polohou prochází při $x=0$
tj. $\cos (\omega t+\varphi _0)=0\ \Rightarrow \ \omega t+\varphi _0=\frac\pi2+k\pi$
Rovnovážnou polohou to prochází v mnoha okamžicích, ale ten nejbližší nule, je pro $k=-1$ , a pak $t_0=\frac{-\frac\pi2-\varphi _0}{\omega }$

Výchlyku $\frac A{\sqrt2}$ bude mít v čase, který určíš z rovnice
$\frac{A}{\sqrt{2}}=A\cos (\omega t+\varphi_0) \ \Rightarrow \ \cos (\omega t+\varphi_0) =\frac{\sqrt2}{2}$
$\omega t+\varphi_0=\pm\frac\pi4+2k\pi$
nejbližší čas následující po $t_0$ je pro $\omega t_1+\varphi_0=-\frac\pi4$
vypočítáš $t_1$ a určíš $t_1-t_0$