Matematické Fórum

gorgitko

Zdravím,

není mi jasné, kdy dochází k průniku a kdy ke sjednocení množin. Konkrétně u nerovnic, které řeším u definičního oboru funkce dvou proměnných.

příklad:

$f(x, y)=arccos(\frac{x^2}{y})$
$D(f)=\{(x, y)\in \mathbb {R}^2 ; (-1 \le \frac {x^2}{y} \le 1) \wedge (y \neq 0) \}$

Takže řešíme nerovnice:
1) $-1\le\frac{x^2}{y}$
2) $\frac{x^2}{y}\le1$
___________________________________________
řešme 1)

$\frac {x^2}{y}\ge -1 \Rightarrow \frac {x^2+y}{y}\ge 0$

Tady jsou dvě možnosti:

1a) $(x^2+y\ge 0) \wedge (y>0)$
1b) $(x^2+y\le 0) \wedge (y<0)$
___________________________________________
řešme 2)

$\frac {x^2}{y}\le 1 \Rightarrow \frac {x^2-y}{y}\le 0$

Opět dvě možnosti:

2a) $(x^2-y \ge 0) \wedge (y<0)$
2b) $(x^2-y \le 0) \wedge (y>0)$
___________________________________________
Teď graficky:

1a)

1b)

sjednocení $1a \cup 1b$

2a)

2b)

sjednocení $2a \cup 2b$

A teď finálně definiční obor funkce. Což pro změnu vypadá na průnik $1ab \cap 2ab$ :

Ptám se tedy, proč se to jednou sjednocuje a jednou zas "proniká"? Předem díky za vysvětlení :)

gorgitko

Asi mi to právě došlo...

Pokud máme 2 nerovnice, které musí platit současně ( 1) a 2) v příkladu), tak se použije matematické "a" ( $\wedge$ ) a dojde k průniku množin. Tj. $D(f)=\{... ; (nerovnice 1) \wedge (nerovnice 2) \}$

A pokud máme 2 nerovnice, ze kterých může v jednu chvíli platit jen jedna ( 1a) a 1b) v příkladu), tak se použije matematické "nebo" ( $\vee$ ) a dojde ke sjednocení množin.

jelena · 24. 02. 2014 00:08

↑ gorgitko:

Zdravím,

v principu asi došlo správně. Úplně od úvodu: $-1 \le \frac {x^2}{y} \le 1$ (tato "dvojná nerovnice" je ve skutečnosti soustava nerovnic, tedy řešením soustavy bude průník množin vyhovujících první a druhé nerovnici).

V postupu jsi řešil postupně nerovnice z této soustavy ("levou nerovnici" a "pravou nerovnici"). V každé z těchto nerovnic jsi převedl na podílový tvar a uvažoval "zlomek je záporný, pokud... NEBO...). Toto NEBO dává povinnost sjednotit výsledky řešení pro každou nerovnici. Pro samotný "dílčí zlomek" platí např., že "čitatel kladný" A ZÁROVEŇ "jmenovatel záporný". Toto "A ZÁROVEŇ" dává povinnost najít průnik množin pro čitatel a jmenovatel. Tak jsme došlí ke každé dílčí nerovnici např. v 1a).

Je to takový polopatický popis Tvého příkladu. Je třeba kontrolovat podrobněji řešení, nebo tak stačí? Pro praktické nacvičení jsou pěkné příklady def. oborů např. zde.

gorgitko · 24. 02. 2014 18:24

↑ jelena:

Děkuji za odpověď, potvrdily se mi mé domněnky :) Řešení není třeba kontrolovat, tenhle příklad mám v sešitě a jen jsem ho potřeboval dodatečně vysvětlit.

Tenhle příklad se vlastně obecně týkal mého neporozumění průniku a sjednocení množin u nerovnic, jelikož obsahoval oboje :)

Matematické Fórum

#1 23. 02. 2014 20:52 — Editoval gorgitko (23. 02. 2014 21:04)

D(f) funkce 2 proměnných, sjednocení vs. průnik množin

#2 23. 02. 2014 21:14 — Editoval gorgitko (23. 02. 2014 21:15)

Re: D(f) funkce 2 proměnných, sjednocení vs. průnik množin

#3 24. 02. 2014 00:08

Re: D(f) funkce 2 proměnných, sjednocení vs. průnik množin

#4 24. 02. 2014 18:24

Re: D(f) funkce 2 proměnných, sjednocení vs. průnik množin

Zápatí