Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj,
mám tu příklad: dokažte, že prvky $\begin{pmatrix} 1&3\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix}$ negenerují $S_4$ .
Myslím si, že například negenerují trojcykly... Nedaří se mi vymyslet efektivní způsob, jak dostat podgrupu, kterou generují, abych si byla opravdu jistá, že to je všechno a zároveň aby to nebylo příliš `brute force'. Prosím o radu, jak na to.
edit: brute force myslím třeba vytvoření cayley tabulky -- i když u toho se asi vyplatí přemýšlet, že..

vanok · 02. 03. 2014 11:43

Ahoj ↑ Andrejka3:,
Najprv ukaz ze $\begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix} ^2$ nie je cyklus a zvysok je jednoduchy.

Andrejka3 · 02. 03. 2014 11:52

↑ vanok:
To je složení dvou dvojcyklů: $(13)(24)$ . Jaktože je zbytek jednoduchý?

vanok · 02. 03. 2014 12:00 — Editoval vanok (02. 03. 2014 12:03)

↑ Andrejka3:,
Co mozu generovat tvoje 2 generatory?
Mozes generovat (1,2)? .... Preco?

Edit ( este mozes pracovat aj z orbitmy, ak to mas rada)

Andrejka3

↑ vanok:
Nevím, proč nemůžu vygenerovat (1,2). Klidně, pracovat i s orbitami. Ale nedochází mi to.
Cayley tabulka :)
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/64706_bulka.png
Ale jestli víš, jak na to přijít bez tohoto, ráda bych to věděla taky. Díky.

vanok · 02. 03. 2014 14:37 — Editoval vanok (02. 03. 2014 19:15)

To sa da ukaza, ze napr predpokladas, ze 3 je pevny bod neidentickej permutacie a najdes nejaky spor.

Este mozno prirodzenejsia cesta je geometricka: Ukazat ze $\begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1&3\end{pmatrix}$ su v obraze injektivneho morfismu ale nesurjectivneho.( ide o rotaciu a symetriu stvorca...) Tak ich obraz neda generatory grupy S4.
Mam toto doplnit?

Andrejka3

↑ vanok:
Prosím, kdybys by tak hodný.
edit: mohla bych to nejdříve zkustit sama... Kdyžtak můžu napsat, kdyby mi to nevyšlo.

Andrejka3

↑ vanok:
Ta druhá cesta:
Aha, to jsou generátory $D_8$ , dihedrální grupy.
První cesta: $3$ je pevným bodem osové symetrie $(24)$ . Ale to druhé je dostačující. Díky moc.

vanok · 02. 03. 2014 15:11

Ano ta druha cesta je iste elegantnejsia.
Je dobre to zacat akciou grupy D8 na vrcholy stvorca ( je fidèle =verna?)...

Andrejka3 · 02. 03. 2014 16:49

↑ vanok:
Určitě je věrná. Nevím, kam míříme. K regulární reprezentaci? Myslela jsem, že už není co dokazovat.

vanok · 02. 03. 2014 19:12 — Editoval vanok (02. 03. 2014 19:19)

↑ Andrejka3:,
To robim takto, aby sme pouzili vsetko, co moze byt trochu skryte a az intuitivne na prvy pohlad. ( ano je verna lebo tri z tych vrcholom tvoria afinny reper, a tak tiez asociavany morfismus je injektivny, ale nie surjektivny ) Akoze $\begin{pmatrix} 1&3\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix}$ su v obraze toho morfizmu, tak nemozu generovat celu S4 ( a tak ci tak D8 ma 8 prvkov S4 24)
Poznamka :a) zda sa mi, ze naviac D8 je 2-Sywow v S4
b)z trocha humorom mozme povedat ze sme robili akciu, ale dokonca skutocne poriadnu akciu. :-)

Andrejka3

↑ vanok:
To je právě dobře. Jak teda přesně vypadá ta akce?
edit: (až teď chápu).
Ad poznamka: Zajímavý postřeh :)
Znamená to, že jsou ještě dvě další 2-Sylow podgrupy, které bych nějak konjugací mohla najít?

vanok · 02. 03. 2014 20:12

Na tie 2-Sylow pozri aj sem, ex7
http://math.arizona.edu/~cais/594Page/soln/soln4.pdf

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2014 09:42 — Editoval Andrejka3 (02. 03. 2014 10:23)

(13),(1234) negeneruje S_4

#2 02. 03. 2014 11:43

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

#3 02. 03. 2014 11:52

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

#4 02. 03. 2014 12:00 — Editoval vanok (02. 03. 2014 12:03)

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

#5 02. 03. 2014 12:32 — Editoval Andrejka3 (02. 03. 2014 13:52)

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

#6 02. 03. 2014 14:37 — Editoval vanok (02. 03. 2014 19:15)

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

#7 02. 03. 2014 14:41 — Editoval Andrejka3 (02. 03. 2014 14:43)

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

#8 02. 03. 2014 14:55 — Editoval Andrejka3 (02. 03. 2014 14:57)

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

#9 02. 03. 2014 15:11

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

#10 02. 03. 2014 16:49

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

#11 02. 03. 2014 19:12 — Editoval vanok (02. 03. 2014 19:19)

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

#12 02. 03. 2014 19:39 — Editoval Andrejka3 (06. 03. 2014 20:31)

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

#13 02. 03. 2014 20:12

Re: (13),(1234) negeneruje S_4

Zápatí