Matematické Fórum

dominikvyr · 07. 03. 2009 17:51

Ahoj ..... řeším do školy nějaké příklady s komplexními čísly. Všechno už mám kromě tohodle.

Určete komplexní číslo x+yi tak, aby součet tohoto čísla a jeho převrácené hodnoty byl 3/2.

Co stím? Vůbec netuším :-(

mikee · 07. 03. 2009 18:02

↑ dominikvyr:
No mame rovnicu $(x + yi) + \frac{1}{(x+yi)} = \frac{3}{2}$ . Tu za podmienky ze (x+yi) je nenulove cislo upravime na tvar $(2x^2-2y^2+2) + (4xy)i = 3x + (3y)i$ . Vlastne sme oddelili realnu cast a imaginarnu cast cisel na obidvoch stranach. Z toho potom zostavime (s vyuzitim vlastnosti, ze dve komplexne cisla sa rovnaju vtedy a len vtedy ak sa rovnaju v realnej aj imaginarnej zlozke) sustavu rovnic $2x^2-2y^2+2 = 3x$ a $4xy = 3y$ , ktora sa da uz jednoducho dopocitat :)

dominikvyr · 07. 03. 2009 22:09

Díky moc ........ Na tohle bych určitě nedošel ........ještě jednou díky :)

vonSternberk · 19. 03. 2009 09:04

ja mam tez jeden problem s komplexnimi čisli a sice:

$(4+i)*(2i-4)-\frac{4+4i}{1+2i}+\frac{3+7i}{i}$

Rumburak · 19. 03. 2009 09:41

↑ vonSternberk:
Algebraické operace s komplexními čísly tvaru

(1) a + b*i , kde a, b jsou reálná,

se provádějí obdobně, jako s dvojčleny reálných čísel, s tím, že i*i = i^2 = -1 .
Je-li nenulové komplexní číslo tvaru (1) jmenovatelem zlomku, bývá často výhodné provést "usměrnění" zlomku tak, že tento zlomek rozšíříme
(tj. vynásobíme jmenovatele i čitatele) číslem a - b*i . Jmenovatel pak bude (a + b*i)*(a - b*i) = a^2 + b^2, ( viz i^2 = -1) , tedy reálný ,
čímž se další práce s výrazem usnadní.

marnes · 19. 03. 2009 09:52 — Editoval marnes (19. 03. 2009 09:53)

↑ vonSternberk:

Návod dodal Rumburak

vonSternberk · 19. 03. 2009 10:00

to ne ma to vyjit jinak a myslim, ze uz v tom násobení máš chybu..násobí se dle vzorce
$(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$ to znamená, že jen v násobení vyjde $12i-10$

Cheop · 19. 03. 2009 10:01

↑ marnes:

Mě to vyšlo: $-\frac{67}{5}+\frac{9i}{5}$

vonSternberk · 19. 03. 2009 10:17

↑ Cheop:

jj to je ono

marnes · 19. 03. 2009 10:51

↑ vonSternberk:
úpravy 1),2),3) jsou v pořádku, chybu jsem udělal při převedení na společný zlomek, bo 5 x 18 není 80, ale 90:-), takže o -10 více, takže Cheop má výsledek OK. ( chybička se vloudila, nu což:-), promiň)

IvetaK · 19. 03. 2009 12:24

Ahoj, mrkněte, prosím, na můj výpočet D(f) fce a poraďte mi, kde dělám chybu. Děkuji za pomoc
[img]http://forum.matweb.cz/upload/752-clip_image002.jpg [/img]

vonSternberk · 19. 03. 2009 15:00

můžete mi nikdo říct, kde je chyba?

$\frac{-8i}{2+i}*\frac{2-i}{2-i}$

$\frac{-16i+8i^2 }{4-1}$

$\frac{-8-16i}{3}$

marnes · 19. 03. 2009 15:01 — Editoval marnes (19. 03. 2009 15:04)

↑ vonSternberk:Ve jmenovateli má být 4+1
4-(i^2)=4-(-1)=4+1=5

vonSternberk · 19. 03. 2009 15:45

↑ marnes:

jj když to roznásobíš tak jo..ja jsem počítal dle vzorecku (a+b)*(a-b)=a^2+b^2

marnes · 19. 03. 2009 18:45 — Editoval marnes (19. 03. 2009 18:46)

↑ vonSternberk:
(a+b)*(a-b)=a^2+b^2???? Ten neznám. Nemělo to být (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 a nebo (a+bi)*(a-bi)=a^2+b^2

vonSternberk · 21. 03. 2009 11:28

jasan...tak algebraický tvar komplexního číslo zvládám na jedničku teď ještě goniometrický:((

můžete mi někdo popsat postup při řešení tohoto příkladu:

$z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}$

dík

vonSternberk · 21. 03. 2009 21:24

nehlede na predchozi priklad muzete mi nekdo vysvetlit toto:

Co tvoří obrazy komplexních čísel splňující požadavek, že:

marnes · 21. 03. 2009 21:39

↑ vonSternberk:
z=a + bi
1) Urči si kvadrant, ve kterém je komplexní číslo
2) Urči si absolutní hodnotu KČ

goniometrický tvar z= /z/(cos fí + i sin fí) fí je úhlel, který svírá osa x a spojnice počátku Gau. rov a obrazem čísla

pomocný úhel( ostrý z 1 kvadrantu) alfa určíš jako tg alfa=b/a bez ohledu na znaménka
fí určíš převedením alfa do příslušného kvadrantu
a už jen dosadíš do goniometrického tvaru všechny údaje

marnes · 21. 03. 2009 21:42

↑ vonSternberk:
Tvůj příklad
/z/=1
KČ je v prvním kvadrantu, takže úhel alfa=fí
tg alfa=(odm2/2):(odm2/2)=1
alfa=45st
Gon tvar
z=1.(cos 45st + i sin 45st) nebo=(cos pi/4 + i sin pi/4)

vonSternberk · 22. 03. 2009 18:02

OK a jak učím absolutní hodnotu komplexního čísla?

lukaszh · 22. 03. 2009 18:11

↑ vonSternberk:
Ty sa učíš komplexné čísla dopredu alebo máte skutočne neschopných pedagógov, že nevysvetlia základy o komplexných číslach? Absolútna hodnota je
$z:=a+\rm{i}b\nl|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

vonSternberk · 22. 03. 2009 18:28

↑ lukaszh:

nn prave, ze uz sem dva roky po skole a tak musim opakovat..opakovat..opakovat:(

vonSternberk · 22. 03. 2009 18:55

treba u tehoto příkladu:

$z=1-i$

zjistím tedy absolutní hodnotu podle
$z=\sqrt{a^2+b^2 }$

to jest

z=\sqrt{2}

a co ted?? jak zjistim goniometrický tvar KČ??

Chrpa · 22. 03. 2009 19:02 — Editoval Chrpa (22. 03. 2009 19:12)

↑ vonSternberk:
Goniometrický tvar komplexního čísla je:
$|z|(\cos\,\phi+i\sin\,\phi)$ přičemž:
$\cos\,\phi=\frac{a}{|z|}$ a
$\sin\,\phi=\frac{b}{|z|}$
$|z|=\sqrt 2$
$\cos\,\phi=\frac{1}{\sqrt 2}$
$\sin\,\phi=-\frac{1}{\sqrt 2}$

Což odpovídá úhlu $\frac{7\pi}{4}$
Takže komplexní číslo bude:
$\sqrt 2\left(\cos\,\frac{7\pi}{4}+i\sin\,\frac{7\pi}{4}\right)$