Matematické Fórum

crank139 · 05. 03. 2014 18:46

Zdravím, ako by som mal postupovať pri riešení tejto úlohy? keďže je kosodlžník tak tak nevidím súvislosti..

Rovnoběžník ABCD má obsah 40 cm2, |AB| = 8,5 cm a |BC| = 5,65 cm. Vypočítej velikosti jeho úhlopříček.

gadgetka · 05. 03. 2014 18:52

Cranku, např. bych vyšla z toho, že obsah se vypočítá jako
$S=ab\sin{\alpha}$

Freedy · 05. 03. 2014 18:56

Můžeš to udělat následovně.
Obsah rovnoběžíku je:
$S=ab\sin \alpha$
a = 8,5 b = 5,65
$\frac{40}{48,025}=\sin \alpha$

Přes kosinovou větu lze ukázat že:
$e^2=a^2+b^2+2ab\cos \alpha$
$f^2=a^2+b^2-2ab\cos \alpha$

Stačí si tedy z prvního vztahu vyjádřit cosinus a dopočítat uhlopříčky

crank139

$S=ab\sin{\alpha}$
ako ste k tomu prišli? podobný vzťah som ešte nevidel..
ináč čo sa týka cosínovej a sínovej vety tak tie platia iba pre pravouhlé trojuholníky že?

janca361 · 05. 03. 2014 19:38

↑ crank139:
Sinova a cosinova věta platí pro libovolné trojúhelníky (na rozdíl od Pythagorovy věty, Euklidových vět, goniometrických funkcí)

Freedy · 05. 03. 2014 19:38

sinová a kosinová věta platí obecně pro všechny trojúhelníky. Možná jsi si to spletl s pythagorovou větou nebo větami euklidovými které platí pouze v pravoúhlém trojúhelníku.

Vzorec $S=ab\sin{\alpha}$ je pouze jiné zapsání známého vzorce pro obsah trojúhelníku:
$S=\frac{a\cdot v}{2}$

Představ si trojúhelník ABC. Stranu AB = c, AC = b a úhel alfa $\sphericalangle BAC=\alpha$
Obsah tohoto trojúhelníku by tedy byl např:
$S=\frac{c\cdot v_c}{2}$
sinus úhlu alfa je ale:
$\sin \alpha =\frac{v_c}{b}$
takže lze výšku vyjádřit jako
$b\sin \alpha \ =v_c$

Z toho potom lze dostat obsah: $S=\frac{bc\sin \alpha }{2}$

A protože rovnoběžník jsou jakoby 2 totožné trojúhelníky s hraniční úsečkou uhlopříčkou, tak to neni polovina ale
$S=ab\sin \alpha$

gadgetka

Odvození vztahu $S=ab\sin{\alpha}$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-03/45654_graf_677.png

Původní kosodélník ABCD upravíš odříznutím pravoúhlého trojúhelníku BCF vpravo a zároveň jeho nalepením vlevo (trojúhelník ADG) na obdélník ABFG, jehož obsah umíš spočítat (délka krát šířka). Ale tady šířku supluje výška kosodélníku $\enspace \Rightarrow S=av$ . A výšku vypočítáš pomocí goniometrické funkce ostrého úhlu:
$\sin{\alpha}=\frac{v}{b}\Rightarrow v=b\sin{\alpha}$
A když dáš celý vzoreček dokupy, dostáváš:
$S=av=ab\sin{\alpha}$

Edit: Omlouvám se za příspěvek. Problém už máš vysvětlen, ale když už jsem se s tím malovala, tak to tu nechám... ;)

Cheop · 06. 03. 2014 09:54 — Editoval Cheop (06. 03. 2014 10:03)

↑ gadgetka:
Zdravím, jen tak pro zajímavost:
$u_{1,2}=\sqrt{a^2+b^2\pm2\sqrt{a^2b^2-S^2}}$
Pro výpočet používám:
$S=a\cdot v$ a dále pouze větu starého Pythagora

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2014 18:46

Dľžka uhlopriečky

#2 05. 03. 2014 18:52

Re: Dľžka uhlopriečky

#3 05. 03. 2014 18:56

Re: Dľžka uhlopriečky

#4 05. 03. 2014 19:08 — Editoval crank139 (05. 03. 2014 19:14)

Re: Dľžka uhlopriečky

#5 05. 03. 2014 19:38

Re: Dľžka uhlopriečky

#6 05. 03. 2014 19:38

Re: Dľžka uhlopriečky

#7 05. 03. 2014 20:02 — Editoval gadgetka (05. 03. 2014 20:02)

Re: Dľžka uhlopriečky

#8 06. 03. 2014 09:54 — Editoval Cheop (06. 03. 2014 10:03)

Re: Dľžka uhlopriečky

Zápatí