Matematické Fórum

Kubajz123

Zdravím,
Mám tu před sebou úkol, se kterým se kterým si nevím rady. Tohle je zadání:

Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce $f(x) = (x+2)\sqrt[3]{4-x}$ a ve kterých graf funkce protíná osu x.

Nějak se nemůžu chytit..
Díky za každou pomoc

Cheop · 10. 03. 2014 12:15 — Editoval Cheop (10. 03. 2014 12:16)

↑ Kubajz123:
Řešíš:
$(x+2)\sqrt[3]{4-x}=0$ - a máš průsečíky s osou x
Kdy je součin 2 čísel roven nule?

Kubajz123 · 10. 03. 2014 13:49

↑ Cheop:
Když je jedna nebo druhá část 0.
Takže
x1 = -2
x2 = 4

To by jsme měli, co ale teď?

Freedy · 10. 03. 2014 15:39

máš dva body:
$S_1[-2;0]$
$S_2[4;0]$

Pro tečnu funkce f(x) v bodě [x0;y0] platí:
$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$
takže stačí zderivovat danou funkci, a zjistit směrnici. Normála už je potom pouze:
$y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$

Rumburak · 10. 03. 2014 15:52

↑ Freedy:

... ovšem pouze za jistých předpokladů o $f'(x_0)$ .

Kubajz123 · 10. 03. 2014 17:09

↑ Freedy:↑ Freedy:

Dobře, zkusil jsem za f(x0) dostadit f(-2) - Je to správně? Protože mi potom vychází, že

$f'(x0) = 0$ - to znamená, že rovnice tečny je

$y-y0 = 0 * (x - x0) => y = 0x$ - Což mi nějak nesedí. Co dělám špatně?

Freedy · 10. 03. 2014 20:40 — Editoval Freedy (10. 03. 2014 20:40)

Funkce f(x)
$f(x)=(x+2)\sqrt[3]{4-x}$
Derivace f(x)
$f'(x)=(x+2)'\sqrt[3]{4-x}+(x+2)(\sqrt[3]{4-x})'$
$f'(x)=\sqrt[3]{4-x}+(x+2)(\sqrt[3]{4-x})'$
$f'(x)=\sqrt[3]{4-x}+(x+2)\frac{1}{3(\sqrt[3]{(4-x)^2})}(-1)$
$f'(x)=\sqrt[3]{4-x}-\frac{x+2}{3(\sqrt[3]{(4-x)^2})}$
____________________________________
$f'(x)=\frac{2(5-2x)}{3\sqrt[3]{(4-x)^2}}$

Tak. nyní stačí dosadit body dotyku do té obecné rovnice tečny přes derivaci funkce:
$S[-2;0]$ a $S[4;0]$

První bod:
$S[-2;0]$
dosazuješ tedy:
$y-0=\frac{2(5-2(-2))}{3\sqrt[3]{((4-(-2))^2}}(x-(-2))$
$y=\frac{18}{3\sqrt[3]{36}}(x+2)$
$y=\frac{18x}{3\sqrt[3]{36}}+\frac{36}{3\sqrt[3]{36}}$

A máš první obecnou rovnici tečny v bodě dotyku [-2;0]

Teď úplně stejně i ten druhý bod.

EDIT:
Rumburak: když je f'(x) = 0 tak je rovnice tečny rovnoběžná s osou x, tudíž její zápis bude mít předpis y = c.